Encontre a derivada de ordem pedida
f(x)=e^x, f^(k)=?, k in N

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem k da função f(x)=e^x, com kinN. O conteúdo aqui é a propriedade de que a derivada da função exponencial ,e^x é ela mesma, o que permite encontrar todas as derivadas sucessivas.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra básica:
f'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 3

Repetindo o processo para as derivadas seguintes, vemos que ao derivar e^x de novo sempre obtemos e^x. Por exemplo,
f''(x)=ddxf'(x)=ddxe^x=e^x, f'''(x)=ddxf''(x)=e^x,
e assim por diante.

Passo 4

Para finalizar, aplicamos um argumento por indução: suponha que para algum n>=1 valha f^(n)(x)=e^x. Então
f^(n+1)(x)=ddxf^(n)(x)=ddxe^x=e^x
Logo essa fórmula vale para todo kinN.

Resposta

f^(k)(x)=e^x, kinN

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