Encontre a derivada de ordem pedida
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem
da função
, com
. O conteúdo aqui é a propriedade de que a derivada da função exponencial
é ela mesma, o que permite encontrar todas as derivadas sucessivas.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra básica:
Passo 3
Repetindo o processo para as derivadas seguintes, vemos que ao derivar
de novo sempre obtemos
. Por exemplo,
e assim por diante.
Passo 4
Para finalizar, aplicamos um argumento por indução: suponha que para algum
valha
. Então
Logo essa fórmula vale para todo
.