Encontre a derivada de ordem pedida
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Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de f(x)=x^2cos(x). Vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a regra do produto para derivar uma função que é produto de x^2 por cos(x), e o fato de que ddxcos(x)=-sin(x).

Passo 2

Primeiro, encontramos a primeira derivada f'(x). Pela regra do produto, se u(x)=x^2 e v(x)=cos(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2xcos(x)+x^2l(-sin(x)r) =2xcos(x)-x^2sin(x)

Passo 3

Agora derivamos f'(x) para obter f''(x). Vamos separar em duas parcelas e aplicar regra do produto de novo:
  1. Para 2xcos(x):
ddxl(2xcos(x)r) =2cos(x)+2xl(-sin(x)r) =2cos(x)-2xsin(x)
  1. Para -x^2sin(x):
ddxl(-x^2sin(x)r) =-l(2xsin(x)+x^2cos(x)r) =-2xsin(x)-x^2cos(x)

Passo 4

Somando as duas parcelas:
f''(x) =l[2cos(x)-2xsin(x)r] +l[-2xsin(x)-x^2cos(x)r] =2cos(x)-4xsin(x)-x^2cos(x)
Podemos organizar em
f''(x)=(2-x^2)cos(x)-4xsin(x)

Resposta

f''(x)=(2-x^2)cos(x)-4xsin(x)

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