Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=3 x^2+x y-2 y^2+3 x-y ; x=2 r-3 s ; y=r+s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

O enunciado define
u = 3x^2 + x y - 2y^2 + 3x - y,
com as mudanças de variável
x = 2r - 3s, y = r + s
Queremos calcular as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial s usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u em relação a x e y:
ux = partialpartial xl(3x^2 + x y - 2y^2 + 3x - yr) = 6x + y + 3,
uy = partialpartial yl(3x^2 + x y - 2y^2 + 3x - yr) = x - 4y - 1

Passo 3

Agora, pela regra da cadeia,
partial upartial r = ux,partial xpartial r + uy,partial ypartial r
Como x = 2r - 3s e y = r + s, temos partial x/partial r = 2 e partial y/partial r = 1. Logo,
partial upartial r = (6x + y + 3)cdot 2 + (x - 4y - 1)cdot 1 = 12x + 2y + 6 + x - 4y - 1 = 13x - 2y + 5

Passo 4

Substituindo x = 2r - 3s e y = r + s em 13x - 2y + 5, obtemos
13(2r - 3s) - 2(r + s) + 5 = 26r - 39s - 2r - 2s + 5 = 24r - 41s + 5
Portanto,
partial upartial r = 24r - 41s + 5

Passo 5

De forma análoga, para a derivada em relação a s usamos
partial upartial s = ux,partial xpartial s + uy,partial ypartial s
Aqui partial x/partial s = -3 e partial y/partial s = 1. Assim,
partial upartial s = (6x + y + 3)cdot(-3) + (x - 4y - 1)cdot 1 = -18x - 3y - 9 + x - 4y - 1 = -17x - 7y - 10

Passo 6

Substituindo novamente x = 2r - 3s e y = r + s em -17x - 7y - 10, temos
-17(2r - 3s) - 7(r + s) - 10 = -34r + 51s - 7r - 7s - 10 = -41r + 44s - 10
Logo,
partial upartial s = -41r + 44s - 10

Resposta

partial upartial r = 24r - 41s + 5, partial upartial s = -41r + 44s - 10

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