Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=x^2+y^2 ; x=cosh r cos t ; y=senh r sen t ; partial upartial r; partial upartial t

Passo 1

O enunciado define a função
u = x^2 + y^2
onde
x = cosh r cos t, y = sinh r sin t
e pede as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial t.
Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r,
e um análogo para partial u/partial t.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de u em relação a x e y:
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y
Também precisamos de
partial xpartial r = ddr(cosh r cos t) = sinh r cos t,
partial ypartial r = ddr(sinh r sin t) = cosh r sin t

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em r:
partial upartial r = 2x,( sinh r cos t ) + 2y,( cosh r sin t )
Substituindo x = cosh rcos t e y = sinh rsin t,
partial upartial r = 2cosh rcos t,sinh rcos t + 2sinh rsin t,cosh rsin t = 2sinh rcosh rl(cos^2 t+sin^2 tr) = 2sinh rcosh r
Reconhecemos que 2sinh rcosh r = sinh(2r).

Passo 4

Agora para partial u/partial t precisamos de
partial xpartial t = ddt(cosh r cos t) = -cosh r sin t,
partial ypartial t = ddt(sinh r sin t) = sinh r cos t
Pela regra da cadeia:
partial upartial t = 2x,( -cosh r sin t ) + 2y,( sinh r cos t )

Passo 5

Substituindo x e y:
partial upartial t = -2cosh rcos t,cosh rsin t + 2sinh rsin t,sinh rcos t
= 2sin tcos tl(-cosh^2 r+sinh^2 rr) = 2sin tcos tl(-1r) = -2sin tcos t = -sin(2t)

Resposta

partial upartial r = 2sinh r,cosh r = sinh(2r), partial upartial t = -2sin t,cos t = -sin(2t)

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