Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

O enunciado nos dá a função ,u=x^2-y^2, onde
x=3r - s,
y=r + 2s
O que queremos é usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais partial u/partial r e partial u/partial s. Para isso, vamos precisar das derivadas de u em relação a x e a y, e das derivadas de x e y em relação a r e a s.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u em relação a x e y:
partial upartial x = partialpartial xl(x^2-y^2r) = 2x,
partial upartial y = partialpartial yl(x^2-y^2r) = -2y

Passo 3

Calcular as derivadas de x e y em relação a r:
partial xpartial r = partialpartial r(3r - s) = 3,
partial ypartial r = partialpartial r(r + 2s) = 1

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter partial u/partial r:
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r = (2x)cdot 3 + (-2y)cdot 1 = 6x - 2y
Substituindo x=3r - s e y=r + 2s, temos
partial upartial r = 6(3r - s) - 2(r + 2s) = 18r - 6s - 2r - 4s = 16r - 10s

Passo 5

Calcular as derivadas de x e y em relação a s:
partial xpartial s = partialpartial s(3r - s) = -1,
partial ypartial s = partialpartial s(r + 2s) = 2
Em seguida, aplicar a regra da cadeia para obter partial u/partial s:
partial upartial s = partial upartial x,partial xpartial s + partial upartial y,partial ypartial s = (2x)cdot(-1) + (-2y)cdot 2 = -2x - 4y
Substituindo x=3r - s e y=r + 2s, obtemos
partial upartial s = -2(3r - s) - 4(r + 2s) = -6r + 2s - 4r - 8s = -10r - 6s

Resposta

partial upartial r = 16r - 10s, partial upartial s = -10r - 6s

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