Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série de termos positivos
sumn=1^infty1raizn(n+1)(n+2)
Este é um problema de teste de convergência de séries infinitas; vamos usar o teste da comparação com a p-série sum n^-p.

Passo 2

Estime o termo geral comparando raizn(n+1)(n+2) com n^3/2. Para todo n>=1 vale
n+1>= n e n+2>= n Longrightarrow n(n+1)(n+2)>= ncdot ncdot n = n^3
Tomando raiz quadrada,
raizn(n+1)(n+2)>= raizn^3=n^3/2 Longrightarrow 1raizn(n+1)(n+2)<= 1n^3/2

Passo 3

Sabemos que a p-série
sumn=1^infty1n^3/2
converge, pois 3/2>1. Pelo teste da comparação direta, como
0<= 1raizn(n+1)(n+2)<= 1n^3/2
e sum n^-3/2 converge, a série dada também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn(n+1)(n+2) converge.

Exercícios relacionados