Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=x^2 y z ; x=rs ; y=r e^s ; z=r e^-s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

O enunciado define a função composta
u = x^2yz
com
x = rs, y = r e^s, z = r e^-s,
e pede as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial s.
O conteúdo que usaremos é a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r + partial upartial z,partial zpartial r,
e análoga para partial u/partial s.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u em relação às variáveis intermediárias x,y,z:
partial upartial x = 2x,y,z, partial upartial y = x^2,z, partial upartial z = x^2,y

Passo 3

Agora derivamos x,y,z em relação a r e a s:
partial xpartial r = 1s, partial xpartial s = -rs^2,
partial ypartial r = e^s, partial ypartial s = r,e^s,
partial zpartial r = e^-s, partial zpartial s = -,r,e^-s

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial upartial r:
partial upartial r = (2x,y,z)1s + (x^2z),e^s + (x^2y),e^-s
Como x=rs, y=r e^s e z=r e^-s, temos
x,y,z = rscdot r e^scdot r e^-s = r^3s,
x^2z = r^2s^2cdot r e^-s = r^3e^-ss^2, x^2y = r^2s^2cdot r e^s = r^3e^ss^2
Substituindo e simplificando:
partial upartial r = 2r^3scdot1s + r^3e^-ss^2,e^s + r^3e^ss^2,e^-s = 2r^3s^2 + r^3s^2 + r^3s^2 = 4r^3s^2

Passo 5

Agora para partial upartial s:
partial upartial s = (2x,y,z)l(-rs^2r) + (x^2z),(r e^s) + (x^2y),l(-r e^-sr)
Usando os mesmos valores de x^2z, x^2y e x,y,z do passo anterior, obtemos
partial upartial s = -2,rs^2cdotr^3s + r^3e^-ss^2,(r e^s) - r^3e^ss^2,(r e^-s) = -2,r^4s^3 + r^4s^2 - r^4s^2 = -,2,r^4s^3

Resposta

partial upartial r = 4r^3s^2, partial upartial s = -,2,r^4s^3

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