Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=x y+x z+y z ; x=r s ; y=r^2-s^2 ; z=(r-s)^2 ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial s da função
u = x y + x z + y z
onde
x = r s, y = r^2 - s^2, z = (r - s)^2
O conteúdo principal é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de u em relação a x, y e z, tratando as outras variáveis como constantes:
ux = partialpartial x(x y + x z + y z) = y + z,
uy = partialpartial y(x y + x z + y z) = x + z,
uz = partialpartial z(x y + x z + y z) = x + y

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de x,y,z em relação a r:
xr = partialpartial r(r s) = s,
yr = partialpartial r(r^2 - s^2) = 2r,
zr = partialpartial rl((r - s)^2r) = 2(r - s)

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial upartial r:
partial upartial r = ux,xr ;+; uy,yr ;+; uz,zr = (y+z),s ;+;(x+z),2r ;+;(x+y),2(r-s)
Agora substituímos x = r s, y = r^2 - s^2 e z = (r - s)^2 e simplificamos para obter
partial upartial r = 4r^3 ;-;4r,s^2 ;+;2,s^3

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais de x,y,z em relação a s:
xs = partialpartial s(r s) = r,
ys = partialpartial s(r^2 - s^2) = -2s,
zs = partialpartial sl((r - s)^2r) = -2(r - s)

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial upartial s:
partial upartial s = ux,xs ;+; uy,ys ;+; uz,zs = (y+z),r ;+;(x+z)(-2s) ;+;(x+y)l(-2(r-s)r)
Substituindo x,y,z e simplificando, chega-se a
partial upartial s = -4r^2,s ;+;6r,s^2 ;-;4,s^3

Resposta

partial upartial r = 4r^3 - 4r,s^2 + 2,s^3,
partial upartial s = -4r^2,s + 6r,s^2 - 4,s^3

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