Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
V=pi x^2 y ; x=cos z sen t ; y=z^2 e^t ; partial Vpartial z; partial Vpartial t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
V = pi x^2 y
com as substituições
x = cos z ,sin t, y = z^2 e^t
Precisamos encontrar partial Vpartial z e partial Vpartial t usando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de V em relação às variáveis intermediárias x e y:
partial Vpartial x = 2pi x y,
partial Vpartial y = pi x^2

Passo 3

Em seguida, obtemos as derivadas parciais de x e y em relação a z e t:
partial xpartial z = -sin z ,sin t, partial xpartial t = cos z ,cos t,
partial ypartial z = 2z,e^t, partial ypartial t = z^2 e^t

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
partial Vpartial z = partial Vpartial x,partial xpartial z ;+;partial Vpartial y,partial ypartial z,
partial Vpartial t = partial Vpartial x,partial xpartial t ;+;partial Vpartial y,partial ypartial t

Passo 5

Agora substituímos todas as derivadas parciais e também x=cos zsin t, y=z^2e^t, e simplificamos:
partial Vpartial z =2pi x yl(-sin zsin tr)+pi x^2l(2z e^tr)
=-2pi,z^2e^tcos zsin t;sin zsin t ;+;2pi,z e^tcos^2zsin^2t
=2pi z e^tsin^2t,cos zl(cos z - zsin zr),
partial Vpartial t =2pi x yl(cos zcos tr)+pi x^2l(z^2 e^tr)
=2pi,z^2e^tcos^2zsin tcos t ;+;pi,z^2e^tcos^2zsin^2t
=pi z^2e^tcos^2zl(2sin tcos t + sin^2tr)

Resposta

partial Vpartial z =2pi z e^tsin^2t,cos zl(cos z - zsin zr),
partial Vpartial t =pi z^2e^tcos^2zl(2sin tcos t + sin^2tr)

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