Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=x^2+x y ; x=r^2+s^2 ; y=3 r-2 s ; partial upartial r ; partial upartial s

Passo 1

No enunciado a função ,u(x,y)=x^2+xy é composta com
,x(r,s)=r^2+s^2 e ,y(r,s)=3r-2s.
Precisamos calcular partial u/partial r e partial u/partial s usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro derivamos u em relação a x e y:
partial upartial x = 2x + y,
partial upartial y = x

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a r:
partial xpartial r = 2r,
partial ypartial r = 3

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para partial u/partial r:
partial upartial r = partial upartial x,partial xpartial r + partial upartial y,partial ypartial r = (2x+y),2r ;+; xcdot3
Substituindo x=r^2+s^2 e y=3r-2s, obtemos
partial upartial r =2rl(2(r^2+s^2)+(3r-2s)r)+3(r^2+s^2)

Passo 5

Derivamos x e y em relação a s:
partial xpartial s = 2s,
partial ypartial s = -2

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial u/partial s:
partial upartial s = partial upartial x,partial xpartial s + partial upartial y,partial ypartial s = (2x+y),2s ;+; xcdot(-2)
Substituindo x e y, temos
partial upartial s =2sl(2(r^2+s^2)+(3r-2s)r)-2(r^2+s^2)

Resposta

partial upartial r =2rl(2(r^2+s^2)+(3r-2s)r)+3(r^2+s^2),
partial upartial s =2sl(2(r^2+s^2)+(3r-2s)r)-2(r^2+s^2)

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