Encontre a derivada parcial indicada usando a regra da cadeia:
u=e^yx ; x=2 r cos t ; y=4 r sen t ; partial upartial r ; partial upartial t

Passo 1

O enunciado define
u = e^yx, x = 2rcos t, y = 4rsin t
e pede as derivadas parciais partial upartial r e partial upartial t.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas com r e t.

Passo 2

Primeiro vamos achar partial upartial x e partial upartial y tratando u como u(x,y)=e^y/x.
A derivada de e^y/x em relação a x é
ux ;=;partialpartial xe^yx ;=;e^yxcdotpartialpartial xl(tfracyxr) ;=;e^yxcdotl(-yx^2r) ;=;-,yx^2,e^yx
A derivada em relação a y é
uy ;=;partialpartial ye^yx ;=;e^yxcdotpartialpartial yl(tfracyxr) ;=;e^yxcdot1x ;=;1x,e^yx

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a r:
partial xpartial r = partialpartial r(2rcos t) = 2cos t, partial ypartial r = partialpartial r(4rsin t) = 4sin t
Aplicando a regra da cadeia para partial upartial r:
partial upartial r = ux,partial xpartial r + uy,partial ypartial r

Passo 4

Substituindo ux, uy, xr e yr:
partial upartial r = l(-yx^2e^yxr)!(2cos t) + l(1xe^yxr)!(4sin t)
Fatorando e^yx e usando x=2rcos t, y=4rsin t, nota-se que os termos se cancelam, pois
-tfracyx^2(2cos t)= -tfrac2sin trcos t e tfrac1x(4sin t)= tfrac2sin trcos t.
Logo
partial upartial r = 0

Passo 5

Agora achamos partial upartial t. Calculamos
partial xpartial t = -2rsin t, partial ypartial t = 4rcos t,
e aplicamos a regra da cadeia:
partial upartial t = ux,partial xpartial t + uy,partial ypartial t

Passo 6

Substituindo e simplificando com u=e^yx:
partial upartial t = l(-yx^2e^yxr)!(-2rsin t) + l(1xe^yxr)!(4rcos t)
Usando x=2rcos t, y=4rsin t obtemos
partial upartial t = e^yxl(8r^2sin^2 t4r^2cos^2 t + 4rcos t2rcos tr) = e^yxl(2tan^2 t + 2r) =2,e^yxl(1+tan^2 tr)
E como ;1+tan^2 t=sec^2 t e yx=2tan t,
partial upartial t =2,e^2tan t,sec^2 t

Resposta

partial upartial r = 0,
partial upartial t = 2,e^2tan t,sec^2 t

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