Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
; onde
e
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Temos
. - Temos
. - Pede-se a derivada parcial
. - Observação importante:
depende de indiretamente através de ; é tratada como constante quando derivamos em relação a .
Passo 2
Entendendo a regra da cadeia para derivadas parciais (a ideia básica):
- Quando
é função de e é função de e , ou seja e , então a derivada parcial de em relação a é obtida pela regra da cadeia:
- Aqui
é a derivada de em relação a (derivada ordinary), e é a derivada parcial de em relação a .
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificar
e
.
- Temos
. - Portanto a derivada de
em relação a (usando a regra do poder) é
- Explicação da regra do poder: se
com constante, então . Aqui .
Passo 4
Calcular
diretamente:
- Como
e é constante ao derivar em relação a , a derivada de em relação a é zero. - A derivada de
em relação a é . - Logo
Passo 5
Combinar os resultados pela regra da cadeia:
- Simplificando o fator:
- Substituindo
para expressar a resposta em termos de e :