Encontre a derivada parcial usando a regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}; onde w=\sqrt{u} e u=3 x^{2}+y^{2}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Temos w=\sqrt{u}.
  • Temos u=3x^{2}+y^{2}.
  • Pede-se a derivada parcial \dfrac{\partial w}{\partial x}.
  • Observação importante: w depende de x indiretamente através de u; y é tratada como constante quando derivamos em relação a x.

Passo 2

Entendendo a regra da cadeia para derivadas parciais (a ideia básica):
  • Quando w é função de u e u é função de x e y, ou seja w=f(u) e u=g(x,y), então a derivada parcial de w em relação a x é obtida pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui f'(u) é a derivada de f em relação a u (derivada ordinary), e \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: identificar f e g.
  • Temos f(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • Portanto a derivada de f em relação a u (usando a regra do poder) é
f'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
  • Explicação da regra do poder: se \varphi(u)=u^{n} com n constante, então \varphi'(u)=n u^{n-1}. Aqui n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} diretamente:
  • Como u=3x^{2}+y^{2} e y é constante ao derivar em relação a x, a derivada de y^{2} em relação a x é zero.
  • A derivada de 3x^{2} em relação a x é 3\cdot 2x=6x.
  • Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=6x.

Passo 5

Combinar os resultados pela regra da cadeia:
\frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 6x.
  • Simplificando o fator:
\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{u}}=\frac{3x}{\sqrt{u}}.
  • Substituindo u=3x^{2}+y^{2} para expressar a resposta em termos de x e y:
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{3x}{\sqrt{3x^{2}+y^{2}}}.

Resposta

\dfrac{3x}{\sqrt{3x^{2}+y^{2}}}

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