Encontre a derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=ln (x) cos (x^2+1);
(b) g(x)=x sin (x)e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas de duas funções: f(x)=ln(x)cos(x^2+1) e g(x)=dfracxsin(x)e^2x. O conteúdo envolve regra do produto, regra do quociente e regra da cadeia.

Passo 2

Para f(x)=ln(x)cos(x^2+1) usamos a regra do produto: se u(x)=ln(x) e v(x)=cos(x^2+1), então f'=u'v+uv'. Aqui u'(x)=1/x e, pela regra da cadeia, v'(x)=-sin(x^2+1)cdot 2x. Substituindo,
temos
f'(x)=1xcos(x^2+1)+ln(x)l(-2xsin(x^2+1)r)
e, reunindo termos,
f'(x)=cos(x^2+1)x-2xln(x)sin(x^2+1)

Passo 3

Para g(x)=dfracxsin(x)e^2x podemos usar a regra do quociente: se N(x)=xsin(x) e D(x)=e^2x, então
N'(x)=sin(x)+xcos(x), D'(x)=2e^2x

Passo 4

Logo,
g'(x)=N',D-N,D'D^2=(sin(x)+xcos(x))e^2x-2xsin(x)e^2xe^4x
Colocando e^2x em evidência e simplificando,
$$g’(x)=e^{-2x}\bigl(\sin(x)+x\cos(x)-2x\sin(x)\bigr)
=e^{-2x}\bigl((1-2x)\sin(x)+x\cos(x)\bigr).$$

Resposta

f'(x)=cos(x^2+1)x-2xln(x)sin(x^2+1), g'(x)=e^-2xl((1-2x)sin(x)+xcos(x)r)

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