(5,0 ptos ) Utilizando o TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA, encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos da função e f(x)=x^3-9 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teste da Primeira Derivada para descobrir onde a função $ f(x) = x^{3} - 9x $ está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Então, calculando a derivada de $ f(x) = x^{3} - 9x $:
f(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 9 $ está sempre definida, então vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
x
Então, os pontos críticos são $ x = \sqrt{3} $ e $ x = -\sqrt{3} $.

Passo 4

Com os pontos críticos encontrados, vamos dividir a reta real em intervalos e verificar o sinal da derivada em cada intervalo. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
  1. $ x < -\sqrt{3} $
  2. $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $
  3. $ x > \sqrt{3} $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 9 $:
  1. Para $ x < -\sqrt{3} $, vamos testar $ x = -2 $:
    x < -raiz3
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Para $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, vamos testar $ x = 0 $:
    -raiz3 < x < raiz3
    A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Para $ x > \sqrt{3} $, vamos testar $ x = 2 $:
    x > raiz3
    A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos:
  • Em $ x = -\sqrt{3} $: A função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo relativo.
  • Em $ x = \sqrt{3} $: A função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo relativo.

Resposta

Usando o Teste da Primeira Derivada, a função $ f(x) = x^{3} - 9x $ aumenta nos intervalos $ (-\infty, -\sqrt{3}) $ e $ (\sqrt{3}, +\infty) $, e diminui no intervalo $ (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) $. Possui um máximo relativo em $ x = -\sqrt{3} $ e um mínimo relativo em $ x = \sqrt{3} $.

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