Utilizando o TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA, encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos da função e
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o Teste da Primeira Derivada para descobrir onde a função $ f(x) = x^{3} - 9x $ está crescendo ou decrescendo, além de encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto. Então, calculando a derivada de $ f(x) = x^{3} - 9x $:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. No nosso caso, a derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 9 $ está sempre definida, então vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos são $ x = \sqrt{3} $ e $ x = -\sqrt{3} $.
Passo 4
Com os pontos críticos encontrados, vamos dividir a reta real em intervalos e verificar o sinal da derivada em cada intervalo. Isso nos dirá se a função está crescendo ou decrescendo nesses intervalos.
Os intervalos são:
- $ x < -\sqrt{3} $
- $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $
- $ x > \sqrt{3} $
Vamos escolher um valor de teste em cada intervalo e substituir na derivada $ f’(x) = 3x^{2} - 9 $:
-
Para $ x < -\sqrt{3} $, vamos testar $ x = -2 $:A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
-
Para $ -\sqrt{3} < x < \sqrt{3} $, vamos testar $ x = 0 $:A derivada é negativa, então a função está decrescendo nesse intervalo.
-
Para $ x > \sqrt{3} $, vamos testar $ x = 2 $:A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora que sabemos onde a função está crescendo ou decrescendo, podemos identificar os pontos de máximo e mínimo relativos:
- Em $ x = -\sqrt{3} $: A função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo relativo.
- Em $ x = \sqrt{3} $: A função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo relativo.
Resposta
Usando o Teste da Primeira Derivada, a função $ f(x) = x^{3} - 9x $ aumenta nos intervalos $ (-\infty, -\sqrt{3}) $ e $ (\sqrt{3}, +\infty) $, e diminui no intervalo $ (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) $. Possui um máximo relativo em $ x = -\sqrt{3} $ e um mínimo relativo em $ x = \sqrt{3} $.