Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que você encontre a derivada dessa função, isto é,
.
Informações relevantes: a função é composta (há um cosseno aplicado a uma expressão polinomial), a variável independente é e a expressão interna é
.
Informações relevantes: a função é composta (há um cosseno aplicado a uma expressão polinomial), a variável independente é
Passo 2
Entendendo a regra que vamos usar (intuição): quando uma função é composta, tipo
, a taxa de variação (derivada) de fora depende da taxa de variação da parte dentro. Intuitivamente, pequenas mudanças em
mudam
, e essas mudanças em
mudam
. Então a derivada da composição é a derivada da parte externa avaliada na parte interna, vezes a derivada da parte interna. Essa é a ideia da chamada “regra da cadeia”.
Passo 3
Apresentando as funções externa e interna claramente:
definimos a função externa por
e a função interna
por
. Assim
.
definimos a função externa
Passo 4
Derivada da função externa
: sabemos (ou memorizamos) que a derivada do cosseno é menos seno. Em notação,
Explicando: isso significa que se você muda
um pouco, a mudança em
é aproximadamente
vezes a mudança em
.
Passo 5
Agora a derivada da função interna
:
usamos a regra do potência e a linearidade da derivada. Para ,
usamos a regra do potência e a linearidade da derivada. Para
e
Logo,
Observe: a fórmula usada foi
; aqui
.
Passo 6
Aplicando exatamente a regra da cadeia: se
, então
Substituindo
com
e
, obtemos
Passo 7
Arrumando a escrita final (multiplicação comutativa), fica mais bonito e habitual escrever
Pequena verificação rápida: em
temos
, o que é coerente — às vezes checar um ponto ajuda a ter confiança.
Passo 8
Dica prática para a prova (resumão que dá pra decorar): identifique a parte externa (aqui
) e a interna (aqui
); derive a externa como se a interna fosse uma nova variável (
) e multiplique pela derivada da interna (
). Exemplo rápido que vale pra fixar: se
, então
.