Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\cos \left(3 t^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(t)=\cos\bigl(3t^{2}+1\bigr) e pede que você encontre a derivada dessa função, isto é, f'(t).
Informações relevantes: a função é composta (há um cosseno aplicado a uma expressão polinomial), a variável independente é t e a expressão interna é 3t^{2}+1.

Passo 2

Entendendo a regra que vamos usar (intuição): quando uma função é composta, tipo \cos(u(t)), a taxa de variação (derivada) de fora depende da taxa de variação da parte dentro. Intuitivamente, pequenas mudanças em t mudam u(t), e essas mudanças em u mudam \cos(u). Então a derivada da composição é a derivada da parte externa avaliada na parte interna, vezes a derivada da parte interna. Essa é a ideia da chamada “regra da cadeia”.

Passo 3

Apresentando as funções externa e interna claramente:
definimos a função externa g por g(u)=\cos(u) e a função interna h por h(t)=3t^{2}+1. Assim f(t)=g\bigl(h(t)\bigr).

Passo 4

Derivada da função externa g: sabemos (ou memorizamos) que a derivada do cosseno é menos seno. Em notação,
g'(u)=\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Explicando: isso significa que se você muda u um pouco, a mudança em \cos(u) é aproximadamente -\sin(u) vezes a mudança em u.

Passo 5

Agora a derivada da função interna h:
usamos a regra do potência e a linearidade da derivada. Para h(t)=3t^{2}+1,
\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr)=3\cdot 2t=6t
e
\frac{d}{dt}(1)=0.
Logo,
h'(t)=6t.
Observe: a fórmula usada foi \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}; aqui n=2.

Passo 6

Aplicando exatamente a regra da cadeia: se f(t)=g(h(t)), então
f'(t)=g'\bigl(h(t)\bigr)\cdot h'(t).
Substituindo g'(u)=-\sin(u) com u=h(t)=3t^{2}+1 e h'(t)=6t, obtemos
f'(t)=-\sin\bigl(3t^{2}+1\bigr)\cdot 6t.

Passo 7

Arrumando a escrita final (multiplicação comutativa), fica mais bonito e habitual escrever
f'(t)=-6t\sin\bigl(3t^{2}+1\bigr).
Pequena verificação rápida: em t=0 temos f'(0)=-6\cdot 0\cdot \sin(1)=0, o que é coerente — às vezes checar um ponto ajuda a ter confiança.

Passo 8

Dica prática para a prova (resumão que dá pra decorar): identifique a parte externa (aqui \cos) e a interna (aqui 3t^{2}+1); derive a externa como se a interna fosse uma nova variável ( -\sin(\cdot)) e multiplique pela derivada da interna ( 6t). Exemplo rápido que vale pra fixar: se y=\cos(5x+2), então y'=-5\sin(5x+2).

Resposta

-6t\sin\bigl(3t^{2}+1\bigr)

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