Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}^{2}(x+2)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função f definida por
f(x)=\operatorname{tg}^{2}(x+2).
Informações relevantes dadas:
  • A função é a quinta potência do tangente? Não — é o quadrado do tangente: \operatorname{tg}^{2}(\cdot) significa (\operatorname{tg}(\cdot))^{2}.
  • A variável independente é x e a expressão dentro do tangente é x+2.
  • Preciso fornecer f'(x) (a derivada de f em função de x).
  • Atenção: o tangente não está definido onde \cos(x+2)=0; isso afeta o domínio da derivada, que só existe onde \cos(x+2)\neq0.

Passo 2

Princípio que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve quando temos uma função composta, isto é, uma função externa aplicada a outra interna. A fórmula geral é
\frac{d}{dx}\bigl(v(u(x))\bigr)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
onde:
  • u(x) é a função interna (aquela que está “dentro”),
  • v(t) é a função externa (escrita com uma variável genérica t),
  • v'(t) é a derivada de v em relação a t,
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
    Explicando com calma: primeiro derivamos a função externa mantendo a interna como se fosse uma variável, depois multiplicamos pela derivada da interna.

Passo 3

Identificação das funções interna e externa para o nosso caso:
  • Função externa v(t)=t^{2}. Aqui usei t para representar a entrada de v.
  • Função interna u(x)=\operatorname{tg}(x+2).
    Agora calculemos as derivadas separadamente:
  • Derivada da externa: v'(t)=2t. Isso vem da regra básica de potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}.
  • Derivada da interna: precisamos de \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(x+2). Para isso usamos que a derivada do tangente é a secante ao quadrado: \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}(x)=\operatorname{sec}^{2}(x). Aplicando a regra da cadeia à \operatorname{tg}(x+2) (pois há também o +2 dentro):
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(x+2)=\operatorname{sec}^{2}(x+2)\cdot \frac{d}{dx}(x+2).
Como \dfrac{d}{dx}(x+2)=1, temos
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(x+2)=\operatorname{sec}^{2}(x+2).

Passo 4

(Rapidamente: por que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^{2}x?) Pela regra do quociente: \operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a derivada:
\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) =\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x} =\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Isso mostra a origem de \operatorname{sec}^{2}x de forma explícita (usei a identidade \sin^{2}x+\cos^{2}x=1).

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia ao f(x)=v(u(x)) com v(t)=t^{2} e u(x)=\operatorname{tg}(x+2):
f'(x)=v'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\operatorname{tg}(x+2) e u'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x+2), obtemos
f'(x)=2\operatorname{tg}(x+2)\cdot \operatorname{sec}^{2}(x+2).
Podemos também escrever \operatorname{sec} em termos de \cos, já que \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}. Assim
f'(x)=2\operatorname{tg}(x+2)\operatorname{sec}^{2}(x+2) =2\frac{\sin(x+2)}{\cos(x+2)}\cdot\frac{1}{\cos^{2}(x+2)} =2\frac{\sin(x+2)}{\cos^{3}(x+2)}.
Lembre-se: essas expressões são equivalentes e válidas onde \cos(x+2)\neq0.

Passo 6

Resumo prático para a prova (modo rápido que você pode decorar):
  • Identifique externo t^{2} → deriva para 2t.
  • Identifique interno \operatorname{tg}(x+2) → deriva para \operatorname{sec}^{2}(x+2).
  • Multiplica: resultado 2\operatorname{tg}(x+2)\operatorname{sec}^{2}(x+2).
    Vai dar certo — respira, revisa esse padrão com outras funções (por exemplo (\sin(x))^{2} 2\sin(x)\cos(x) pela mesma lógica).

Resposta

\displaystyle f'(x)=2\operatorname{tg}(x+2)\operatorname{sec}^{2}(x+2)
\displaystyle f'(x)=2\frac{\sin(x+2)}{\cos^{3}(x+2)}

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