Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
definida por
Informações relevantes dadas:
- A função é a quinta potência do tangente? Não — é o quadrado do tangente:
significa . - A variável independente é
e a expressão dentro do tangente é . - Preciso fornecer
(a derivada de em função de ). - Atenção: o tangente não está definido onde
; isso afeta o domínio da derivada, que só existe onde .
Passo 2
Princípio que vamos usar: a regra da cadeia. Ela serve quando temos uma função composta, isto é, uma função externa aplicada a outra interna. A fórmula geral é
onde:
-
é a função interna (aquela que está “dentro”), -
é a função externa (escrita com uma variável genérica ), -
é a derivada de em relação a , -
é a derivada de em relação a .
Explicando com calma: primeiro derivamos a função externa mantendo a interna como se fosse uma variável, depois multiplicamos pela derivada da interna.
Passo 3
Identificação das funções interna e externa para o nosso caso:
- Função externa
. Aqui usei para representar a entrada de . - Função interna
.
Agora calculemos as derivadas separadamente: - Derivada da externa:
. Isso vem da regra básica de potência: . - Derivada da interna: precisamos de
. Para isso usamos que a derivada do tangente é a secante ao quadrado: . Aplicando a regra da cadeia à (pois há também o dentro):
Como
, temos
Passo 4
(Rapidamente: por que
?) Pela regra do quociente:
. Aplicando a derivada:
Isso mostra a origem de
de forma explícita (usei a identidade
).
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia ao
com
e
:
Substituindo
e
, obtemos
Podemos também escrever
em termos de
, já que
. Assim
Lembre-se: essas expressões são equivalentes e válidas onde
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (modo rápido que você pode decorar):
- Identifique externo
→ deriva para . - Identifique interno
→ deriva para . - Multiplica: resultado
.
Vai dar certo — respira, revisa esse padrão com outras funções (por exemplodá pela mesma lógica).