Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{arctg} 3 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função f dada por f(x)=\operatorname{arctg}(3x).
Informações fornecidas: a função é a arcotangente (arctg) composta com a função linear 3x. A tarefa é calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar (e demonstrar) a derivada da função inversa \operatorname{arctg}. Seja \,y=\operatorname{arctg}(x). Isso significa que \tan(y)=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando diferenciação implícita), obtemos:
\frac{d}{dx}\big(\tan(y)\big)\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(x).
A derivada de \tan(y) em relação a y é \operatorname{sec}^2(y); aplicando a regra da cadeia (porque \tan depende de y que depende de x) temos
\operatorname{sec}^2(y)\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Logo,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)}.
Usamos a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^2(y)=1+\tan^2(y). Como \tan(y)=x, substituímos e ficamos com
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}.
Portanto, a derivada da função \operatorname{arctg}(x) é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(x)\big)=\frac{1}{1+x^2}.
Aqui x é a variável independente; a fórmula vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora precisamos da regra da cadeia (cadeia = composição de funções). A regra da cadeia diz: se F(x)=h(u(x)), então
F'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Intuição simples: primeiro derivamos a função externa h avaliando-a na expressão interna u(x), depois multiplicamos pela derivada da expressão interna u'(x). Exemplo rápido: se h(t)=t^2 e u(x)=3x, então F'(x)=2u(x)\cdot u'(x)=2(3x)\cdot 3.

Passo 4

No nosso caso, identificamos h(t)=\operatorname{arctg}(t) e u(x)=3x. Pelas fórmulas dos passos anteriores, temos h'(t)=\dfrac{1}{1+t^2} e u'(x)=3. Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\frac{1}{1+\big(u(x)\big)^2}\cdot 3.
Substituindo u(x)=3x nessa expressão:
f'(x)=3\cdot\frac{1}{1+(3x)^2}.
Observação sobre domínio: o denominador 1+(3x)^2 é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, então a derivada existe para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para ter uma sensação numérica rápida, podemos avaliar a derivada em um ponto, por exemplo x=0:
f'(0)=3\cdot\frac{1}{1+(3\cdot 0)^2}=3\cdot\frac{1}{1}=3.
Isso mostra como usar a expressão encontrada para obter valores concretos na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{3}{1+9x^2}

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