Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
dada por
.
Informações fornecidas: a função é a arcotangente (arctg) composta com a função linear . A tarefa é calcular
, a derivada em relação a
.
Informações fornecidas: a função é a arcotangente (arctg) composta com a função linear
Passo 2
Vamos lembrar (e demonstrar) a derivada da função inversa
. Seja
. Isso significa que
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando diferenciação implícita), obtemos:
A derivada de
em relação a
é
; aplicando a regra da cadeia (porque
depende de
que depende de
) temos
Logo,
Usamos a identidade trigonométrica
. Como
, substituímos e ficamos com
Portanto, a derivada da função
é
Aqui
é a variável independente; a fórmula vale para todo
.
Passo 3
Agora precisamos da regra da cadeia (cadeia = composição de funções). A regra da cadeia diz: se
, então
Intuição simples: primeiro derivamos a função externa
avaliando-a na expressão interna
, depois multiplicamos pela derivada da expressão interna
. Exemplo rápido: se
e
, então
.
Passo 4
No nosso caso, identificamos
e
. Pelas fórmulas dos passos anteriores, temos
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Substituindo
nessa expressão:
Observação sobre domínio: o denominador
é sempre positivo para todo
, então a derivada existe para todo
.
Passo 5
Para ter uma sensação numérica rápida, podemos avaliar a derivada em um ponto, por exemplo
:
Isso mostra como usar a expressão encontrada para obter valores concretos na prova.