Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontre a derivada da função
Informações dadas: a função é a diferença entre o quadrado da tangente e o quadrado da secante. A tarefa é calcular
, a derivada em relação a
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras básicas que usaremos (explicadas de forma direta e prática):
- Regra da cadeia para uma função composta: se
e queremos , então
No caso frequente
, tem-se
, logo
.
- Derivadas trigonométricas essenciais que precisamos:
Aqui
é a tangente e
é a secante;
significa
.
Passo 3
Derivamos o primeiro termo
usando a regra da cadeia com
e
. Aplicando:
Substituindo
, obtemos
Passo 4
Derivamos o segundo termo
novamente pela regra da cadeia com
e
. Aplicando:
Sabemos que
, logo
Passo 5
Agora juntamos as duas derivadas para
:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 6
Observe que os dois termos são idênticos, portanto se anulam. Podemos fatorar para ver melhor:
Passo 7
Verificação alternativa (atalho útil na prova): usar a identidade trigonométrica
Então
que é constante, e a derivada de uma constante é
. A verificação confirma o resultado do cálculo direto.