Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}^{2} x-\operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede: encontre a derivada da função
f(x)=\operatorname{tg}^{2}x-\operatorname{sec}^{2}x.
Informações dadas: a função é a diferença entre o quadrado da tangente e o quadrado da secante. A tarefa é calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Vamos lembrar as regras básicas que usaremos (explicadas de forma direta e prática):
  • Regra da cadeia para uma função composta: se g(x) = h(u(x)) e queremos g'(x), então
g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
No caso frequente h(u)=u^{2}, tem-se h'(u)=2u, logo (u(x))^{2}' = 2u(x)\cdot u'(x).
  • Derivadas trigonométricas essenciais que precisamos:
\big(\operatorname{tg}x\big)'=\operatorname{sec}^{2}x, \qquad \big(\operatorname{sec} x\big)'=\operatorname{sec} x\operatorname{tg}x.
Aqui \operatorname{tg}x é a tangente e \operatorname{sec} x é a secante; \operatorname{sec}^{2}x significa (\operatorname{sec} x)^{2}.

Passo 3

Derivamos o primeiro termo \operatorname{tg}^{2}x usando a regra da cadeia com u(x)=\operatorname{tg}x e h(u)=u^{2}. Aplicando:
\big(\operatorname{tg}^{2}x\big)' = 2\operatorname{tg}x\cdot\big(\operatorname{tg}x\big)'.
Substituindo \big(\operatorname{tg}x\big)'=\operatorname{sec}^{2}x, obtemos
\big(\operatorname{tg}^{2}x\big)' = 2\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Derivamos o segundo termo \operatorname{sec}^{2}x novamente pela regra da cadeia com v(x)=\operatorname{sec} x e h(v)=v^{2}. Aplicando:
\big(\operatorname{sec}^{2}x\big)' = 2\operatorname{sec} x\cdot\big(\operatorname{sec} x\big)'.
Sabemos que \big(\operatorname{sec} x\big)'=\operatorname{sec} x\operatorname{tg}x, logo
\big(\operatorname{sec}^{2}x\big)' = 2\operatorname{sec} x\cdot\big(\operatorname{sec} x\operatorname{tg}x\big) = 2\operatorname{sec}^{2}x\operatorname{tg}x.

Passo 5

Agora juntamos as duas derivadas para f(x)=\operatorname{tg}^{2}x-\operatorname{sec}^{2}x:
f'(x)=\big(\operatorname{tg}^{2}x\big)'-\big(\operatorname{sec}^{2}x\big)'.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x)=2\operatorname{tg}x\operatorname{sec}^{2}x - 2\operatorname{sec}^{2}x\operatorname{tg}x.

Passo 6

Observe que os dois termos são idênticos, portanto se anulam. Podemos fatorar para ver melhor:
f'(x)=2\operatorname{sec}^{2}x\operatorname{tg}x - 2\operatorname{sec}^{2}x\operatorname{tg}x = 0.

Passo 7

Verificação alternativa (atalho útil na prova): usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}x = 1 + \operatorname{tg}^{2}x.
Então
f(x)=\operatorname{tg}^{2}x-\operatorname{sec}^{2}x=\operatorname{tg}^{2}x-(1+\operatorname{tg}^{2}x)=-1,
que é constante, e a derivada de uma constante é 0. A verificação confirma o resultado do cálculo direto.

Resposta

0

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