Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações fornecidas que vamos usar:
- A função é dada explicitamente por
de uma razão . - A derivada que procuramos é
. - Observação sobre domínio (útil para saber onde a derivada existe): a expressão
precisa ser positiva para estar definida; além disso, não podemos ter nem na forma final da derivada por aparecerem denominadores. Não é necessário explorar o domínio em detalhe para calcular a derivada simbólica, apenas lembrar desses pontos.
Passo 2
Uma forma prática de derivar é usar a propriedade dos logaritmos que simplifica a expressão antes de derivar:
Por que isso vale? Porque para
e
temos
. Aqui aplicamos isso com
e
(sempre lembrando das restrições de sinal para o log).
Passo 3
Agora derivamos termo a termo. Lembre a regra fundamental para logaritmo composta (cadeia):
- Se
, então . Ou seja, derivada de é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Aplicando isso aos dois termos:
- Para
: o argumento é , então . Logo
Comentário rápido: isso faz sentido também porque
e
, enquanto
é constante.
- Para
: o argumento é , então . Assim
Como
, juntando:
Passo 4
Agora vamos colocar em uma única fração e simplificar — passo que costuma cair na prova porque facilita comparar respostas:
Escolhemos o denominador comum . Escrevemos cada parcela com esse denominador:
Escolhemos o denominador comum
Somando:
Simplificando o numerador:
Portanto
Passo 5
Cheque rápido (opcional, para segurança): poderíamos também ter aplicado diretamente a regra da cadeia com
. Nesse caso calcularíamos
por regra do quociente e em seguida
. Esse cálculo leva ao mesmo resultado
, o que confirma nossa simplificação anterior.