Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\ln \left(\frac{2 t}{1-t^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=\ln\!\left(\frac{2t}{1-t^{2}}\right).
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A função é dada explicitamente por \ln de uma razão \dfrac{2t}{1-t^{2}}.
  • A derivada que procuramos é f'(t)=\dfrac{d}{dt}f(t).
  • Observação sobre domínio (útil para saber onde a derivada existe): a expressão \dfrac{2t}{1-t^{2}} precisa ser positiva para \ln estar definida; além disso, não podemos ter t=0 nem t=\pm1 na forma final da derivada por aparecerem denominadores. Não é necessário explorar o domínio em detalhe para calcular a derivada simbólica, apenas lembrar desses pontos.

Passo 2

Uma forma prática de derivar é usar a propriedade dos logaritmos que simplifica a expressão antes de derivar:
\ln\!\left(\frac{2t}{1-t^{2}}\right)=\ln(2t)-\ln(1-t^{2}).
Por que isso vale? Porque para a>0 e b>0 temos \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b. Aqui aplicamos isso com a=2t e b=1-t^{2} (sempre lembrando das restrições de sinal para o log).

Passo 3

Agora derivamos termo a termo. Lembre a regra fundamental para logaritmo composta (cadeia):
  • Se g(t)=\ln(u(t)), então g'(t)=\dfrac{u'(t)}{u(t)}. Ou seja, derivada de \ln é a derivada do argumento dividida pelo próprio argumento.
Aplicando isso aos dois termos:
  1. Para \ln(2t): o argumento é u(t)=2t, então u'(t)=2. Logo
\frac{d}{dt}\ln(2t)=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}.
Comentário rápido: isso faz sentido também porque \ln(2t)=\ln 2 + \ln t e \frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t}, enquanto \ln 2 é constante.
  1. Para \ln(1-t^{2}): o argumento é v(t)=1-t^{2}, então v'(t)=-2t. Assim
\frac{d}{dt}\ln(1-t^{2})=\frac{-2t}{1-t^{2}}.
Como f(t)=\ln(2t)-\ln(1-t^{2}), juntando:
f'(t)=\frac{1}{t}-\left(\frac{-2t}{1-t^{2}}\right)=\frac{1}{t}+\frac{2t}{1-t^{2}}.

Passo 4

Agora vamos colocar em uma única fração e simplificar — passo que costuma cair na prova porque facilita comparar respostas:
Escolhemos o denominador comum t(1-t^{2}). Escrevemos cada parcela com esse denominador:
\frac{1}{t}=\frac{1-t^{2}}{t(1-t^{2})}, \qquad \frac{2t}{1-t^{2}}=\frac{2t^{2}}{t(1-t^{2})}.
Somando:
f'(t)=\frac{1-t^{2}}{t(1-t^{2})}+\frac{2t^{2}}{t(1-t^{2})}=\frac{1-t^{2}+2t^{2}}{t(1-t^{2})}.
Simplificando o numerador:
1-t^{2}+2t^{2}=1+t^{2}.
Portanto
f'(t)=\frac{1+t^{2}}{t(1-t^{2})}.

Passo 5

Cheque rápido (opcional, para segurança): poderíamos também ter aplicado diretamente a regra da cadeia com u(t)=\dfrac{2t}{1-t^{2}}. Nesse caso calcularíamos u'(t) por regra do quociente e em seguida f'(t)=u'(t)/u(t). Esse cálculo leva ao mesmo resultado \dfrac{1+t^{2}}{t(1-t^{2})}, o que confirma nossa simplificação anterior.

Resposta

\dfrac{1+t^{2}}{t(1-t^{2})}

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