Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes:
- A função é produto de duas funções dependentes de
: e . - Não há mais dados; o objetivo é aplicar regras de diferenciação para calcular
.
Passo 2
Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz que, se
e
são diferenciáveis, então
Explicando: isso significa que a derivada do produto é a soma de (derivada do primeiro vezes o segundo) com (o primeiro vezes a derivada do segundo). Cada símbolo:
-
e são funções de ; -
e são as derivadas de e em relação a .
Aplicaremos essa regra com
e
.
Passo 3
Agora calculamos
. Aqui entra a regra da cadeia: se uma função é composta
, então
No nosso caso
é
com
e
. Sabendo que
e
, obtemos
Detalhe: a derivada da exponencial
em relação a
é
— por isso apareceu
multiplicado pela derivada do expoente
.
Passo 4
Agora calculamos
usando novamente a regra da cadeia. Escrevemos
como
com
e
. Sabendo que
e
, obtemos
Explicando: a derivada de
é
, e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os resultados:
Substituindo
,
,
e
, temos
Agora simplificamos fatorando
:
Podemos ainda fatorar
se quisermos: