Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{2 x+3} \operatorname{sen}(4 x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{2x+3}\,\operatorname{sen}(4x)
e pede para encontrar a derivada f'(x).
Informações relevantes:
  • A função é produto de duas funções dependentes de x: u(x)=e^{2x+3} e v(x)=\operatorname{sen}(4x).
  • Não há mais dados; o objetivo é aplicar regras de diferenciação para calcular f'(x).

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a regra do produto. Ela diz que, se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Explicando: isso significa que a derivada do produto é a soma de (derivada do primeiro vezes o segundo) com (o primeiro vezes a derivada do segundo). Cada símbolo:
  • u(x) e v(x) são funções de x;
  • u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v em relação a x.
Aplicaremos essa regra com u(x)=e^{2x+3} e v(x)=\operatorname{sen}(4x).

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Aqui entra a regra da cadeia: se uma função é composta g(h(x)), então
\bigl(g(h(x))\bigr)' = g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
No nosso caso u(x)=e^{2x+3} é g(h(x)) com g(t)=e^{t} e h(x)=2x+3. Sabendo que g'(t)=e^{t} e h'(x)=2, obtemos
u'(x)=e^{2x+3}\cdot 2 = 2e^{2x+3}.
Detalhe: a derivada da exponencial e^{t} em relação a t é e^{t} — por isso apareceu e^{2x+3} multiplicado pela derivada do expoente 2.

Passo 4

Agora calculamos v'(x) usando novamente a regra da cadeia. Escrevemos v(x)=\operatorname{sen}(4x) como g(h(x)) com g(t)=\operatorname{sen}(t) e h(x)=4x. Sabendo que g'(t)=\cos(t) e h'(x)=4, obtemos
v'(x)=\cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x).
Explicando: a derivada de \operatorname{sen}(t) é \cos(t), e multiplicamos pela derivada interna 4.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2e^{2x+3}, u(x)=e^{2x+3}, v(x)=\operatorname{sen}(4x) e v'(x)=4\cos(4x), temos
f'(x)=2e^{2x+3}\,\operatorname{sen}(4x)+e^{2x+3}\cdot 4\cos(4x).
Agora simplificamos fatorando e^{2x+3}:
f'(x)=e^{2x+3}\bigl(2\operatorname{sen}(4x)+4\cos(4x)\bigr).
Podemos ainda fatorar 2 se quisermos:
f'(x)=2e^{2x+3}\bigl(\operatorname{sen}(4x)+2\cos(4x)\bigr).

Resposta

f'(x)=e^{2x+3}\bigl(2\operatorname{sen}(4x)+4\cos(4x)\bigr)

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