Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{4-3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função f(x)=e^{4-3 x^{2}}.
Informações dadas: a função é a exponencial de uma expressão quadrática 4-3x^{2}. O que se pede é f'(x), a derivada em relação a x. Não há outras restrições (domínio é \mathbb{R}).

Passo 2

Conceito que vamos usar: se temos uma função composta do tipo \displaystyle f(x)=e^{u(x)}, então a derivada usa a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que
\frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando devagar: pense em y=e^{u} com u=u(x). Então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}. Como \dfrac{dy}{du}=e^{u} (a derivada de e^{u} em relação a u é ela mesma), multiplicamos por u'(x). Assim sempre que a exponencial tem um “interior” u(x), derivamos o interior e multiplicamos pelo e^{u(x)}.

Passo 3

Identificamos o interior (a função u(x)) da exponencial:
u(x)=4-3x^{2}.
Agora calculamos u'(x). Para isso usamos a regra do poder: a derivada de x^{2} é 2x; constantes têm derivada zero; e constantes multiplicativas saem como fator:
u'(x)=\frac{d}{dx}(4)-3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=0-3\cdot(2x)=-6x.
Expliquei: a derivada de 4 é 0, a derivada de x^{2} é 2x, e o coeficiente -3 multiplica o resultado.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia explicada no Passo 2. Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula:
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{4-3x^{2}}\cdot(-6x).

Passo 5

Organizando o resultado de forma natural:
f'(x)=-6x\,e^{4-3x^{2}}.
Observação prática: no exame, ao ver e^{\text{algo}}, sempre identifique esse “algo” como u(x), calcule u'(x) (usando regra do poder, soma, constantes etc.) e multiplique por e^{u(x)}. Exemplo rápido de treino: se g(x)=e^{x^{2}}, então g'(x)=2x e^{x^{2}} (mesma ideia).

Resposta

-6x\,e^{4-3x^{2}}

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