Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a sua derivada. A função é
Informações importantes que o enunciado fornece:
- A notação
significa (ou seja, a função seno de elevada ao cubo). - O objetivo é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Intuitivamente, temos uma composição de funções: primeiro calculamos
e depois elevamos ao cubo. Para funções compostas usamos a regra da cadeia. Vou explicar as regras que vamos aplicar, devagarinho.
Regra do expoente (caso simples): se
, então
Exemplo simples: se
, então
.
Regra da derivada do seno: se
, então
Mas se o argumento do seno for uma função
, por exemplo
, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos pela derivada de
.
Regra da cadeia (forma prática): se
, então
Isso diz: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da interna.
Passo 3
Vamos identificar as funções externa e interna na nossa
.
Defina
Defina
(esta é a função interna) e
(a função externa, que pega
e eleva ao cubo).
Pela regra da cadeia,
Passo 4
Calcule
. Usando a regra do expoente com
,
Substituindo
, obtemos a parte externa derivada em termos de
:
Passo 5
Agora calcule
onde
. Aqui aplicamos novamente a regra da cadeia dentro do seno: a derivada de
em relação a
é
, e o argumento
tem derivada
(pois
). Portanto,
Passo 6
Juntando as duas partes pela regra da cadeia:
Reorganizando os fatores (multiplicação é comutativa) e agrupando os números:
Passo 7
Checando rapidamente um valor para ver se faz sentido: em
,
o que é consistente com a função original ter derivada zero naquele ponto (pois
).