Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}^{3}(4 x)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a sua derivada. A função é
f(x)=\operatorname{sen}^{3}(4x).
Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A notação \operatorname{sen}^{3}(4x) significa \big(\operatorname{sen}(4x)\big)^{3} (ou seja, a função seno de 4x elevada ao cubo).
  • O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Intuitivamente, temos uma composição de funções: primeiro calculamos u(x)=\operatorname{sen}(4x) e depois elevamos ao cubo. Para funções compostas usamos a regra da cadeia. Vou explicar as regras que vamos aplicar, devagarinho.
Regra do expoente (caso simples): se g(t)=t^{n}, então
g'(t)=n\,t^{\,n-1}.
Exemplo simples: se g(t)=t^{3}, então g'(t)=3t^{2}.
Regra da derivada do seno: se h(t)=\operatorname{sen}(t), então
h'(t)=\operatorname{cos}(t).
Mas se o argumento do seno for uma função t=\varphi(x), por exemplo \operatorname{sen}(\varphi(x)), aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos pela derivada de \varphi(x).
Regra da cadeia (forma prática): se f(x)=G(H(x)), então
f'(x)=G'\big(H(x)\big)\cdot H'(x).
Isso diz: derivar a função externa em relação à interna e multiplicar pela derivada da interna.

Passo 3

Vamos identificar as funções externa e interna na nossa f.
Defina
u(x)=\operatorname{sen}(4x)
(esta é a função interna) e
G(u)=u^{3}
(a função externa, que pega u e eleva ao cubo).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=G'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).

Passo 4

Calcule G'(u). Usando a regra do expoente com n=3,
G'(u)=3u^{2}.
Substituindo u=u(x)=\operatorname{sen}(4x), obtemos a parte externa derivada em termos de x:
G'\big(u(x)\big)=3\big(\operatorname{sen}(4x)\big)^{2}.

Passo 5

Agora calcule u'(x) onde u(x)=\operatorname{sen}(4x). Aqui aplicamos novamente a regra da cadeia dentro do seno: a derivada de \operatorname{sen}(t) em relação a t é \operatorname{cos}(t), e o argumento t=4x tem derivada 4 (pois \dfrac{d}{dx}(4x)=4). Portanto,
u'(x)=\operatorname{cos}(4x)\cdot 4.

Passo 6

Juntando as duas partes pela regra da cadeia:
f'(x)=3\big(\operatorname{sen}(4x)\big)^{2}\cdot\big(\operatorname{cos}(4x)\cdot 4\big).
Reorganizando os fatores (multiplicação é comutativa) e agrupando os números:
f'(x)=12\big(\operatorname{sen}(4x)\big)^{2}\operatorname{cos}(4x).

Passo 7

Checando rapidamente um valor para ver se faz sentido: em x=0,
f'(0)=12\big(\operatorname{sen}(0)\big)^{2}\operatorname{cos}(0)=12\cdot 0^{2}\cdot 1=0,
o que é consistente com a função original ter derivada zero naquele ponto (pois \operatorname{sen}(0)=0).

Resposta

f'(x)=12\big(\operatorname{sen}(4x)\big)^{2}\operatorname{cos}(4x)

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