Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=(\sqrt{3})^{4 x-5}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x) = (\sqrt{3})^{4x-5}.
Informações dadas que vamos usar: a base \sqrt{3} é uma constante positiva e o expoente é a função linear (4x-5). Então precisamos aplicar regras de derivação para funções exponenciais com base diferente de e.

Passo 2

Fórmula útil (e por que ela vale): para qualquer base positiva a>0 e qualquer função u(x),
a^{u(x)} = e^{u(x)\ln(a)}.
Explicação curta: escrevendo y=a^{u} e aplicando logaritmo natural em ambos os lados obtemos \ln y = u\ln a, portanto y=e^{u\ln a}. Isso nos permite derivar potências com base a usando a regra para exponenciais com base e.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto:
f(x) = (\sqrt{3})^{4x-5} = e^{(4x-5)\ln(\sqrt{3})}.
Aqui definimos g(x)=(4x-5)\ln(\sqrt{3}), de modo que f(x)=e^{g(x)}.

Passo 4

Regra de derivação que usaremos (cadeia): se h(x)=e^{g(x)}, então
h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
Breve explicação da regra da cadeia: derivamos a função exterior e^{(\cdot)} avaliando em g(x) (o que dá e^{g(x)}) e multiplicamos pela derivada da função interior g'(x).

Passo 5

Calcular g'(x). Como g(x)=(4x-5)\ln(\sqrt{3}) e \ln(\sqrt{3}) é uma constante, temos:
g'(x) = \ln(\sqrt{3}) \cdot \frac{d}{dx}(4x-5) = \ln(\sqrt{3})\cdot 4 = 4\ln(\sqrt{3}).
Aqui usei que a derivada de (4x-5) é 4 e que constante multiplicativa sai da derivada.

Passo 6

Juntando a regra da cadeia com o valor de g'(x), obtemos a expressão da derivada em termos da exponencial:
\text{derivada} = e^{(4x-5)\ln(\sqrt{3})}\cdot 4\ln(\sqrt{3}).
Reescrevendo e^{(4x-5)\ln(\sqrt{3})} de volta como potência, isso equivale a
(\sqrt{3})^{4x-5}\cdot 4\ln(\sqrt{3}).

Passo 7

Simplificação final do fator logarítmico: \sqrt{3}=3^{1/2}, então por propriedade dos logaritmos
\ln(\sqrt{3}) = \ln(3^{1/2}) = \tfrac{1}{2}\ln(3).
Multiplicando 4 por \tfrac{1}{2}\ln(3) 2\ln(3). Portanto o coeficiente que multiplica a potência simplifica para 2\ln(3).

Resposta

f'(x)=2\ln(3)\,(\sqrt{3})^{4x-5}

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