Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
Informações dadas que vamos usar: a base
é uma constante positiva e o expoente é a função linear
. Então precisamos aplicar regras de derivação para funções exponenciais com base diferente de
.
Passo 2
Fórmula útil (e por que ela vale): para qualquer base positiva
e qualquer função
,
Explicação curta: escrevendo
e aplicando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
, portanto
. Isso nos permite derivar potências com base
usando a regra para exponenciais com base
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso concreto:
Aqui definimos
, de modo que
.
Passo 4
Regra de derivação que usaremos (cadeia): se
, então
Breve explicação da regra da cadeia: derivamos a função exterior
avaliando em
(o que dá
) e multiplicamos pela derivada da função interior
.
Passo 5
Calcular
. Como
e
é uma constante, temos:
Aqui usei que a derivada de
é
e que constante multiplicativa sai da derivada.
Passo 6
Juntando a regra da cadeia com o valor de
, obtemos a expressão da derivada em termos da exponencial:
Reescrevendo
de volta como potência, isso equivale a
Passo 7
Simplificação final do fator logarítmico:
, então por propriedade dos logaritmos
Multiplicando
por
dá
. Portanto o coeficiente que multiplica a potência simplifica para
.