Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à expressão . A tarefa é calcular
, a taxa de variação de
em relação a
.
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à expressão
Passo 2
Vamos entender a regra que vamos usar: quando temos uma função composta do tipo
, a derivada segue a fórmula
Aqui
é a função interna (o que está dentro do ln) e
é a derivada dessa função interna. Intuição rápida: o ln se diferencia como
e depois aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada da parte interna.
Passo 3
Identificamos as partes da composição:
e a função externa é
. Assim vamos calcular
e depois usar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Calculando
. Usamos a regra da soma/constante e a regra da potência:
- A derivada de uma constante
é . - Para
, a constante fica multiplicando e a derivada de é dada pela regra da potência . Aqui , então .
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da derivada do ln (regra da cadeia):
Essa expressão já é a derivada. Podemos reescrever tirando o sinal negativo do numerador para o denominador, se preferir:
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais confortável.
Passo 6
Observação sobre domínio: a função
só está definida quando o argumento do ln é positivo, isto é, quando
. Logo a derivada acima só vale para
tais que
No ponto onde
a função não está definida e não há derivada.
Passo 7
Exemplo rápido (para checar): em
temos
, que bate com a intuição de que
tem inclinação zero em
.