Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(1-4 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\ln\left(1-4x^{3}\right).
Informações dadas: a função é o logaritmo natural (ln) aplicado à expressão 1-4x^{3}. A tarefa é calcular f'(x), a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Vamos entender a regra que vamos usar: quando temos uma função composta do tipo \ln(u(x)), a derivada segue a fórmula
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(u(x))\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x) é a função interna (o que está dentro do ln) e u'(x) é a derivada dessa função interna. Intuição rápida: o ln se diferencia como 1/u e depois aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada da parte interna.

Passo 3

Identificamos as partes da composição:
u(x)=1-4x^{3}
e a função externa é g(u)=\ln(u). Assim vamos calcular u'(x) e depois usar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Calculando u'(x). Usamos a regra da soma/constante e a regra da potência:
  • A derivada de uma constante 1 é 0.
  • Para -4x^{3}, a constante -4 fica multiplicando e a derivada de x^{3} é dada pela regra da potência \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aqui n=3, então \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
    Portanto
u'(x)=0-4\cdot 3x^{2}=-12x^{2}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da derivada do ln (regra da cadeia):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-12x^{2}}{1-4x^{3}}.
Essa expressão já é a derivada. Podemos reescrever tirando o sinal negativo do numerador para o denominador, se preferir:
f'(x)=\frac{12x^{2}}{4x^{3}-1}.
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais confortável.

Passo 6

Observação sobre domínio: a função f(x)=\ln(1-4x^{3}) só está definida quando o argumento do ln é positivo, isto é, quando 1-4x^{3}>0. Logo a derivada acima só vale para x tais que
1-4x^{3}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\sqrt[3]{\tfrac{1}{4}}.
No ponto onde 1-4x^{3}=0 a função não está definida e não há derivada.

Passo 7

Exemplo rápido (para checar): em x=0 temos f'(0)=\dfrac{-12\cdot 0^{2}}{1-0}=0, que bate com a intuição de que f tem inclinação zero em x=0.

Resposta

\displaystyle -\frac{12x^{2}}{1-4x^{3}}

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