Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=-1240+\frac{250 x^{3}}{3}-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função abaixo. Aqui está a função e os dados importantes que o enunciado dá:
f(x) = -1240 + \frac{250 x^{3}}{3} - 4x.
Informações relevantes:
  • Há três termos somados: uma constante -1240, um termo com x^{3} que é \dfrac{250}{3}x^{3}, e um termo linear -4x.
  • A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Regra que vamos usar primeiro: a derivada é linear, ou seja, a derivada da soma é a soma das derivadas. Em símbolos:
\frac{d}{dx}\bigl(g(x)+h(x)\bigr)=\frac{d}{dx}g(x)+\frac{d}{dx}h(x).
Logo podemos derivar cada termo separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Derivada do termo constante: a derivada de qualquer constante é zero. Em termos matemáticos, se C é constante então
\frac{d}{dx}C = 0.
Aplicando ao termo -1240:
\frac{d}{dx}\bigl(-1240\bigr)=0.

Passo 4

Derivada do termo com potência: usamos a regra da potência e a regra do fator constante. A regra da potência diz que, para n inteiro,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Se temos um fator constante a, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot x^{n}\bigr)=a\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=a\cdot n x^{n-1}.
No nosso caso o termo é \dfrac{250}{3}x^{3}. Aplicando a fórmula com a=\dfrac{250}{3} e n=3:
\frac{d}{dx}\left(\frac{250}{3}x^{3}\right)=\frac{250}{3}\cdot 3x^{2}.
Agora simplificamos o coeficiente: \dfrac{250}{3}\cdot 3 = 250. Portanto
\frac{d}{dx}\left(\frac{250}{3}x^{3}\right)=250x^{2}.
(Comentário didático rápido: isso corresponde ao fato que a derivada de x^3 é 3x^2, e multiplicando pelo coeficiente \tfrac{250}{3} cancela o 3.)

Passo 5

Derivada do termo linear: a derivada de ax (com a constante) é a. Em símbolos,
\frac{d}{dx}\bigl(a x\bigr)=a.
Aplicando ao termo -4x:
\frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr)=-4.

Passo 6

Somando as derivadas parciais obtidas (pela linearidade):
f'(x)=0 + 250x^{2} + (-4).
Simplificando:
f'(x)=250x^{2}-4.

Resposta

f'(x)=250x^{2}-4

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