Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\frac{4+3 x^{2}}{-2+x}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função
f(x)=\ln\left(\frac{4+3x^{2}}{-2+x}\right)^{2}.
Informações relevantes dadas:
\text{função: }f(x)=\ln\left(\frac{4+3x^{2}}{-2+x}\right)^{2}.çã
Pontos a notar (dados do enunciado que influenciam a derivação):
\text{o denominador }-2+x=(x-2)\text{ não pode ser zero, logo }x\neq 2.ã
A tarefa é obter f'(x) em termos de x (onde a função está definida).

Passo 2

Simplificamos a estrutura usando uma propriedade dos logaritmos que é muito útil na prova:
\ln\big(u(x)^{2}\big)=2\ln\big(|u(x)|\big),
porque \ln(a^{2})=\ln((|a|)^{2})=2\ln|a|. Aplicando essa identidade com
u(x)=\frac{4+3x^{2}}{-2+x},
temos
f(x)=2\ln\left(\left|\frac{4+3x^{2}}{-2+x}\right|\right).
Observação didática: a barra de módulo aparece porque \ln só aceita argumento positivo; escrever \ln(u^{2})=2\ln|u| garante validade para u<0 também. Para derivar, podemos usar a forma f(x)=2\ln|u(x)|.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicando bem):
A derivada da função composta \ln|u(x)| é dada por
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x)\neq 0. Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. Explicando: a derivada de \ln(v) em v é 1/v; pela regra da cadeia multiplicamos por dv/dx. Como temos um factor 2 multiplicando, a derivada de f será
f'(x)=2\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Antes de aplicar isso precisamos encontrar u'(x). Vou mostrar passo a passo como obter u'(x).

Passo 4

Definimos as partes do quociente para aplicar a regra do quociente (quotient rule). Seja
u(x)=\frac{p(x)}{q(x)},
com
p(x)=4+3x^{2},\qquad q(x)=-2+x=(x-2).
A regra do quociente diz:
\frac{d}{dx}\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{q(x)^{2}}.
Agora calculamos p'(x) e q'(x):
p'(x)=\frac{d}{dx}(4+3x^{2})=6x,
q'(x)=\frac{d}{dx}(x-2)=1.
Aplicando a fórmula:
u'(x)=\frac{6x\cdot(x-2)-(4+3x^{2})\cdot 1}{(x-2)^{2}}.

Passo 5

Simplificamos o numerador de u'(x) passo a passo:
Primeiro expandimos 6x\cdot(x-2):
6x\cdot(x-2)=6x^{2}-12x.
Subtraindo 4+3x^{2}:
6x^{2}-12x-(4+3x^{2})=6x^{2}-12x-4-3x^{2}=3x^{2}-12x-4.
Portanto
u'(x)=\frac{3x^{2}-12x-4}{(x-2)^{2}}.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{u'(x)}{u(x)}, que aparece em f'(x)=2\cdot \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Escrevemos:
\frac{u'(x)}{u(x)}= \frac{\dfrac{3x^{2}-12x-4}{(x-2)^{2}}}{\dfrac{4+3x^{2}}{(x-2)}}.
Divisão de frações: multiplicamos pelo inverso do denominador:
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{2}-12x-4}{(x-2)^{2}}\cdot\frac{x-2}{4+3x^{2}}.
Cancelamos um fator (x-2) do numerador/denominador:
\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{3x^{2}-12x-4}{(x-2)\,(4+3x^{2})}.

Passo 7

Finalmente aplicamos o factor 2 que vinha de f(x)=2\ln|u(x)|. Assim
f'(x)=2\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}=2\cdot\frac{3x^{2}-12x-4}{(x-2)\,(4+3x^{2})}.
Podemos deixar essa expressão como resposta final. Observação sobre domínio: essa fórmula vale para todos x tais que x\neq 2 e 4+3x^{2}\neq 0. Note que 4+3x^{2}>0 para todo x, então a única restrição é x\neq 2.

Resposta

f'(x)=\frac{2\bigl(3x^{2}-12x-4\bigr)}{(x-2)\bigl(4+3x^{2}\bigr)}

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