Observação didática: a barra de módulo aparece porque \ln só aceita argumento positivo; escrever \ln(u^{2})=2\ln|u| garante validade para u<0 também. Para derivar, podemos usar a forma f(x)=2\ln|u(x)|.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicando bem):
A derivada da função composta \ln|u(x)| é dada por
\frac{d}{dx}\ln|u(x)|=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x)\neq 0. Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. Explicando: a derivada de \ln(v) em v é 1/v; pela regra da cadeia multiplicamos por dv/dx. Como temos um factor 2 multiplicando, a derivada de f será
f'(x)=2\cdot\frac{u'(x)}{u(x)}.
Antes de aplicar isso precisamos encontrar u'(x). Vou mostrar passo a passo como obter u'(x).
Passo 4
Definimos as partes do quociente para aplicar a regra do quociente (quotient rule). Seja
Podemos deixar essa expressão como resposta final. Observação sobre domínio: essa fórmula vale para todos x tais que x\neq 2 e 4+3x^{2}\neq 0. Note que 4+3x^{2}>0 para todo x, então a única restrição é x\neq 2.