Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\frac{5 x+4}{1-x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\ln\!\left(\frac{5x+4}{1-x^{2}}\right) e pede que eu encontre a derivada f'(x).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o logaritmo natural (ln) da razão \displaystyle\frac{5x+4}{1-x^{2}}.
  • Para que a função esteja bem definida, a expressão dentro do ln deve ser positiva; além disso, \displaystyle 1-x^{2}\neq 0 e \displaystyle 5x+4\neq 0. (Isso indica que \displaystyle x\neq \pm 1 e \displaystyle x\neq -\tfrac{4}{5} são pontos fora do domínio, mas a derivada que vamos obter vale onde a função está definida.)

Passo 2

Vou usar uma propriedade dos logaritmos para simplificar a diferenciação: \displaystyle \ln\!\left(\frac{A}{B}\right)=\ln(A)-\ln(B) sempre que A>0 e B>0. Aplicando essa regra à nossa função temos:
f(x)=\ln(5x+4)-\ln(1-x^{2}).
Explicar por que fiz isso: diferenciar uma soma (ou diferença) de funções é mais simples do que aplicar a regra da cadeia diretamente sobre uma razão; além disso as derivadas de \ln compostas com funções lineares ou polinomiais são fórmulas básicas.

Passo 3

Lembrete da fórmula que vou usar: se g(x)=\ln(u(x)), então a derivada é dada pela regra da cadeia
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui \displaystyle u(x) é a função dentro do ln e u'(x) é sua derivada. Em palavras: a derivada do ln é 1 sobre a função multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplico essa fórmula à primeira parcela \ln(5x+4).
  • A função interna é \displaystyle u(x)=5x+4.
  • A derivada dessa interna é \displaystyle u'(x)=5 (derivada de uma reta ax+b é a).
    Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(5x+4)\bigr]=\frac{5}{5x+4}.

Passo 5

Agora aplico à segunda parcela \ln(1-x^{2}).
  • A função interna é \displaystyle v(x)=1-x^{2}.
  • A derivada dessa interna é \displaystyle v'(x)=-2x (derivada de -x^{2} é -2x).
    Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(1-x^{2})\bigr]=\frac{-2x}{1-x^{2}}.

Passo 6

Como f(x)=\ln(5x+4)-\ln(1-x^{2}), a derivada é a diferença das derivadas:
f'(x)=\frac{5}{5x+4}-\frac{-2x}{1-x^{2}}.
Simplificando o sinal duplo:
f'(x)=\frac{5}{5x+4}+\frac{2x}{1-x^{2}}.

Passo 7

Faço a simplificação para obter uma única fração (opcional, mas útil para ver a forma final). O denominador comum é (5x+4)(1-x^{2}). Colocando ambas as parcelas sobre esse denominador:
f'(x)=\frac{5(1-x^{2})+2x(5x+4)}{(5x+4)(1-x^{2})}.
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
  • 5(1-x^{2})=5-5x^{2},
  • 2x(5x+4)=10x^{2}+8x.
    Somando:
5-5x^{2}+10x^{2}+8x=5+5x^{2}+8x.
Portanto
f'(x)=\frac{5x^{2}+8x+5}{(5x+4)(1-x^{2})}.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{5}{5x+4}+\frac{2x}{1-x^{2}}=\frac{5x^{2}+8x+5}{(5x+4)(1-x^{2})}

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