Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu encontre a derivada
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o logaritmo natural (ln) da razão
. - Para que a função esteja bem definida, a expressão dentro do ln deve ser positiva; além disso,
e . (Isso indica que e são pontos fora do domínio, mas a derivada que vamos obter vale onde a função está definida.)
Passo 2
Vou usar uma propriedade dos logaritmos para simplificar a diferenciação:
sempre que
e
. Aplicando essa regra à nossa função temos:
Explicar por que fiz isso: diferenciar uma soma (ou diferença) de funções é mais simples do que aplicar a regra da cadeia diretamente sobre uma razão; além disso as derivadas de
compostas com funções lineares ou polinomiais são fórmulas básicas.
Passo 3
Lembrete da fórmula que vou usar: se
, então a derivada é dada pela regra da cadeia
Aqui
é a função dentro do ln e
é sua derivada. Em palavras: a derivada do ln é
sobre a função multiplicada pela derivada da função interna.
Passo 4
Aplico essa fórmula à primeira parcela
.
- A função interna é
. - A derivada dessa interna é
(derivada de uma reta é ).
Logo
Passo 5
Agora aplico à segunda parcela
.
- A função interna é
. - A derivada dessa interna é
(derivada de é ).
Logo
Passo 6
Como
, a derivada é a diferença das derivadas:
Simplificando o sinal duplo:
Passo 7
Faço a simplificação para obter uma única fração (opcional, mas útil para ver a forma final). O denominador comum é
. Colocando ambas as parcelas sobre esse denominador:
Agora desenvolvo o numerador passo a passo:
-
, -
.
Somando:
Portanto