Encontre a derivada das seguintes funções: f(x)=\ln \left(5 x^{2}-1\right)^{4}
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a derivada da função
f(x)=\ln\left(5x^{2}-1\right)^{4}.
Informações dadas e observações imediatas:
A expressão dentro do log é \left(5x^{2}-1\right)^{4}.
Como é um logaritmo natural, a função está definida apenas onde \left(5x^{2}-1\right)^{4}>0. Isso acontece para todo x tal que 5x^{2}-1\neq 0, ou seja, x\neq \pm\frac{1}{\sqrt{5}}.
O objetivo é calcular f'(x), a derivada em termos de x.
Passo 2
Primeira manipulação útil: usar a propriedade do logaritmo de potências. Para qualquer função u(x) não-nula vale
\ln\bigl(u(x)^{4}\bigr)=4\ln\bigl|u(x)\bigr|.
Aqui u(x)=5x^{2}-1. Aplicando a propriedade obtemos
f(x)=4\ln\bigl|5x^{2}-1\bigr|.
Explicação didática: a igualdade com valor absoluto aparece porque \ln(u^{4})=\ln((|u|)^{4})=4\ln|u|. Isso é importante para cobrir o caso em que u seja negativo; mas como o expoente é par o argumento do log é positivo (exceto quando u=0), logo a manipulação é válida para x\neq \pm\frac{1}{\sqrt{5}}.
Passo 3
Regra de derivação que vou usar (aula rápida): se g(x)=\ln\bigl|u(x)\bigr|, então a derivada é
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)},
desde que u(x)\neq 0.
Por que isso funciona? Porque para u>0 temos \frac{d}{dx}\ln u = \frac{1}{u}u'. Para \ln|u| o mesmo resultado vale para u\neq0 (a diferença do sinal é tratada pelo valor absoluto, mas a fórmula final é igual). Aqui u(x)=5x^{2}-1 e u'(x) é a derivada de 5x^{2}-1.
Passo 4
Calcular u'(x):
u(x)=5x^{2}-1 \quad\Rightarrow\quad u'(x)=10x.
Agora aplico a regra do passo anterior à função f(x)=4\ln|u(x)|. Usando a constante 4 por fora:
Verificação alternativa (mesma resposta, por outro caminho): aplicar diretamente a regra da cadeia em \ln\bigl(v(x)\bigr) com v(x)=(5x^{2}-1)^{4}. Temos
Observação final sobre domínio: a fórmula \displaystyle f'(x)=\frac{40x}{5x^{2}-1} vale para todos os x tais que 5x^{2}-1\neq 0, ou seja, para x\neq \pm\frac{1}{\sqrt{5}}.
Força aí — você já tem a derivada pronta e viu duas formas de chegar nela!