Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=40-\frac{8 x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f. Informações dadas:
f(x)=40-\frac{8 x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{4}.
Pergunta explícita: encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Revisão rápida das regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, se C é constante então \dfrac{d}{dx}C=0.
  • Regra do poder (power rule): para n real, \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}. Isso significa que você baixa o expoente e diminui 1 no expoente.
  • Regra do fator constante: se a é constante então \dfrac{d}{dx}\bigl(a\cdot g(x)\bigr)=a\cdot g'(x).
  • Linearidade: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
    Exemplo rápido para fixar: \dfrac{d}{dx}\bigl(5x^{3}\bigr)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.

Passo 3

Primeiro escrevemos os coeficientes claramente para aplicar as regras:
f(x)=40-\frac{8}{3}x^{3}-\frac{1}{4}x^{2}.

Passo 4

Calculamos a derivada termo a termo, usando as regras acima.
  • Derivada do primeiro termo: \dfrac{d}{dx}\bigl(40\bigr)=0 porque é constante.
  • Derivada do segundo termo: use a regra do fator constante e a regra do poder:
\dfrac{d}{dx}\left(-\frac{8}{3}x^{3}\right)=-\frac{8}{3}\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) =-\frac{8}{3}\cdot 3x^{2}=-8x^{2}.
Expliquei passo a passo: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, multiplica pelo coeficiente -\frac{8}{3} e o 3 cancela com o denominador.
  • Derivada do terceiro termo:
\dfrac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}x^{2}\right)=-\frac{1}{4}\cdot \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-\frac{1}{4}\cdot 2x=-\frac{1}{2}x.
Aqui \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, multiplica pelo -\tfrac{1}{4} e obtemos -\tfrac{1}{2}x.

Passo 5

Somando as derivadas dos termos (pela linearidade):
f'(x)=0-8x^{2}-\frac{1}{2}x=-8x^{2}-\frac{1}{2}x.
Se quiser, podemos fatorar um pouco para uma forma alternativa:
f'(x)=-\frac{1}{2}x(16x+1).
Ambas as formas são equivalentes; escolha a que achar mais prática na prova.

Resposta

f'(x)=-8x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}x(16x+1)

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