Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
. A função dada é
Informações relevantes que temos: a expressão dentro do log é
. Note que
para todo
, então a função está definida para todos os reais. O objetivo é encontrar
, isto é, a taxa de variação de
em função de
.
Passo 2
Ferramenta principal que vamos usar: regra da cadeia para logaritmos. Vou enunciar e explicar com calma.
Se tivermos uma função composta
, onde
é uma função diferenciável, então a derivada é dada por
Explicando:
é a função externa e
é a função interna. A regra da cadeia diz que derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna. Como a derivada de
em relação a
é
, obtemos
. Aqui
significa "derivada da função interna
em relação a
".
Passo 3
Identificamos a função interna
para o nosso caso:
Agora calculamos
. Usamos a regra do power (regra do expoente): para
com
constante, temos
. Aplicando com
temos a derivada de
igual a
. A derivada da constante
é
. Portanto
Passo 4
Aplicamos a fórmula da Passo 2, substituindo
e
:
Esse é o resultado direto e simples. Podemos checar rapidamente a coerência: para
grande,
domina e a derivada fica aproximadamente
, o que faz sentido por comportamento assintótico.
Passo 5
Pequeno exemplo numérico para fixar: se
, então
Dica prática para prova: sempre identifique a função interna (aquilo dentro do
) como
, calcule
com calma usando a regra do expoente, e depois coloque em cima de
. É um procedimento curinga para derivadas de
compostas.