Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(x^{4}+5\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f. A função dada é
f(x)=\ln\!\bigl(x^{4}+5\bigr).
Informações relevantes que temos: a expressão dentro do log é x^{4}+5. Note que x^{4}+5>0 para todo x\in\mathbb{R}, então a função está definida para todos os reais. O objetivo é encontrar f'(x), isto é, a taxa de variação de f em função de x.

Passo 2

Ferramenta principal que vamos usar: regra da cadeia para logaritmos. Vou enunciar e explicar com calma.
Se tivermos uma função composta g(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), onde u(x) é uma função diferenciável, então a derivada é dada por
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando: \ln(\cdot) é a função externa e u(x) é a função interna. A regra da cadeia diz que derivamos a função externa em relação à interna e multiplicamos pela derivada da interna. Como a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t, obtemos g'(x)=\bigl(1/u(x)\bigr)\cdot u'(x)=u'(x)/u(x). Aqui u'(x) significa "derivada da função interna u em relação a x".

Passo 3

Identificamos a função interna u(x) para o nosso caso:
u(x)=x^{4}+5.
Agora calculamos u'(x). Usamos a regra do power (regra do expoente): para h(x)=x^{n} com n constante, temos h'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=4 temos a derivada de x^{4} igual a 4x^{3}. A derivada da constante 5 é 0. Portanto
u'(x)=4x^{3}+0=4x^{3}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula da Passo 2, substituindo u(x) e u'(x):
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{4x^{3}}{x^{4}+5}.
Esse é o resultado direto e simples. Podemos checar rapidamente a coerência: para x grande, x^{4} domina e a derivada fica aproximadamente \frac{4x^{3}}{x^{4}}=\frac{4}{x}, o que faz sentido por comportamento assintótico.

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar: se x=1, então
f'(1)=\frac{4\cdot 1^{3}}{1^{4}+5}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Dica prática para prova: sempre identifique a função interna (aquilo dentro do \ln) como u(x), calcule u'(x) com calma usando a regra do expoente, e depois coloque em cima de u(x). É um procedimento curinga para derivadas de \ln compostas.

Resposta

f'(x)=\frac{4x^{3}}{x^{4}+5}

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