Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos (\ln x)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função f definida por
f(x)=\cos\bigl(\ln x\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A função é composta por duas partes: o cosseno aplicado a \ln x.
  • O domínio natural dessa função é x>0 (porque \ln x só está definido para x>0).
    A tarefa é calcular f'(x) para x>0.

Passo 2

Relembrando a derivada de \ln x. Uma maneira curta e elegante de ver isso é usar que a exponencial é a função inversa do logaritmo natural. Se y=\ln x então e^{y}=x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando derivada de e^{y} e regra da cadeia do lado esquerdo) obtém-se:
e^{y}\cdot\frac{dy}{dx}=1.
Como e^{y}=x, temos
x\cdot\frac{dy}{dx}=1\quad\Rightarrow\quad\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}.
Portanto, para x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Aqui \frac{dy}{dx} significa "derivada de y em relação a x".

Passo 3

Relembrando a derivada do cosseno. Se u é uma função qualquer (variável independente ou dependente de x), vale a regra básica:
\frac{d}{du}\bigl(\cos u\bigr)=-\sin u.
Isto significa que ao derivar \cos u em relação a u obtemos -\sin u.

Passo 4

Explicando a regra da cadeia (essencial aqui). Se h(x)=F(G(x)) é uma função composta (primeiro calcula-se G(x), depois aplica-se F), a regra da cadeia diz:
h'(x)=F'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
Em palavras: deriva-se a função externa F avaliada na interna G(x) e multiplica-se pela derivada da função interna G'(x).
Exemplo rápido e simples para fixar: se H(x)=\cos(3x), aqui F(u)=\cos u e G(x)=3x. Então
H'(x)=-\sin(3x)\cdot 3=-3\sin(3x).
Esse mesmo raciocínio será usado com G(x)=\ln x.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia à função f(x)=\cos\bigl(\ln x\bigr).
  • Identificamos a função externa F(u)=\cos u e a função interna G(x)=\ln x.
  • Pela regra da cadeia,
f'(x)=F'\bigl(G(x)\bigr)\cdot G'(x).
  • Sabemos de Passo 3 que F'(u)=-\sin u. Avaliando em u=G(x)=\ln x -\sin(\ln x).
  • Sabemos de Passo 2 que G'(x)=\dfrac{1}{x} para x>0.
    Multiplicando,
f'(x)=-\sin\bigl(\ln x\bigr)\cdot\frac{1}{x}.
Podemos escrever de forma mais compacta como
f'(x)=-\frac{\sin\bigl(\ln x\bigr)}{x},\qquad x>0.

Resposta

f'(x)=-\frac{\sin\bigl(\ln x\bigr)}{x}

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