Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
definida por
Informações relevantes dadas:
- A função é composta por duas partes: o cosseno aplicado a
. - O domínio natural dessa função é
(porque só está definido para ).
A tarefa é calcularpara .
Passo 2
Relembrando a derivada de
. Uma maneira curta e elegante de ver isso é usar que a exponencial é a função inversa do logaritmo natural. Se
então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando derivada de
e regra da cadeia do lado esquerdo) obtém-se:
Como
, temos
Portanto, para
,
Aqui
significa "derivada de
em relação a
".
Passo 3
Relembrando a derivada do cosseno. Se
é uma função qualquer (variável independente ou dependente de
), vale a regra básica:
Isto significa que ao derivar
em relação a
obtemos
.
Passo 4
Explicando a regra da cadeia (essencial aqui). Se
é uma função composta (primeiro calcula-se
, depois aplica-se
), a regra da cadeia diz:
Em palavras: deriva-se a função externa
avaliada na interna
e multiplica-se pela derivada da função interna
.
Exemplo rápido e simples para fixar: se , aqui
e
. Então
Exemplo rápido e simples para fixar: se
Esse mesmo raciocínio será usado com
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia à função
.
- Identificamos a função externa
e a função interna . - Pela regra da cadeia,
- Sabemos de Passo 3 que
. Avaliando em dá . - Sabemos de Passo 2 que
para .
Multiplicando,
Podemos escrever de forma mais compacta como