Determine as três primeiras derivadas de:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as três primeiras derivadas (primeira, segunda e terceira). Informações fornecidas:
- Função:
. - Objetivo: calcular
, e (as derivadas de ordem 1, 2 e 3). - Observação útil a ter em mente: a expressão envolve raiz cúbica e potências racionais; é permitido reescrever em forma de potência para aplicar a regra da potência.
Passo 2
Reescrever a função em forma de potência facilita o uso da regra da potência. Vamos transformar a raiz cúbica:
Usando propriedades de potências, isso pode ser escrito como
Comentário didático rápido: escrever a função como
é prático porque a regra de derivação para potências fica direta. Para lembrar: a regra da potência diz que, para qualquer número real
,
onde
é a variável independentemente de
. Além disso, a regra do múltiplo constante diz que
para constante
. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
.
Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência a
:
Simplificando os coeficientes e o expoente:
Podemos reescrever em forma de radical:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
.
Agora derivamos
usando novamente a regra da potência:
Simplificando:
Na forma de radical:
Passo 5
Calcular a terceira derivada
.
Derivando
:
Simplificando os coeficientes e o expoente:
Na forma de radical:
Passo 6
Discussão sobre domínio e pontos onde as derivadas existem (dica de prova/aviso importante).
- A função original está definida para todo
real, pois é um número real para qualquer . - As expressões encontradas para
, e usam potências negativas de e, portanto, não estão definidas em . Ou seja, as fórmulas fechadas valem para . - Em particular,
é diferenciável para todo , mas não existe (os limites laterais da derivada tendem a e ), então não é diferenciável em .
Dica prática para prova: ao ver raízes racionais, reescreva como potência e aplique a regra da potência; lembre de checar diferenciabilidade em pontos onde a fórmula produz potências negativas (normalmente).
Passo 7
Exemplo extra curto (para fixar a técnica): se
, então
Mesmo procedimento: reescrever, aplicar regra da potência e multiplicar pela constante.