Determine as três primeiras derivadas de:
f(x)=9 \sqrt[3]{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede as três primeiras derivadas (primeira, segunda e terceira). Informações fornecidas:
  • Função: f(x)=9 \sqrt[3]{x^{2}}.
  • Objetivo: calcular f'(x), f''(x) e f^{(3)}(x) (as derivadas de ordem 1, 2 e 3).
  • Observação útil a ter em mente: a expressão envolve raiz cúbica e potências racionais; é permitido reescrever em forma de potência para aplicar a regra da potência.

Passo 2

Reescrever a função em forma de potência facilita o uso da regra da potência. Vamos transformar a raiz cúbica:
f(x)=9\sqrt[3]{x^{2}}=9\,(x^{2})^{1/3}.
Usando propriedades de potências, isso pode ser escrito como
f(x)=9\,x^{2/3}.
Comentário didático rápido: escrever a função como 9x^{2/3} é prático porque a regra de derivação para potências fica direta. Para lembrar: a regra da potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1},
onde x é a variável independentemente de n. Além disso, a regra do múltiplo constante diz que
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x)
para constante c. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x).
Aplicando a regra do múltiplo constante e a regra da potência a f(x)=9x^{2/3}:
f'(x)=9\cdot\frac{d}{dx}x^{2/3}=9\cdot\frac{2}{3}x^{2/3-1}.
Simplificando os coeficientes e o expoente:
f'(x)=9\cdot\frac{2}{3}\,x^{-1/3}=6\,x^{-1/3}.
Podemos reescrever em forma de radical:
f'(x)=6\,x^{-1/3}=\frac{6}{\sqrt[3]{x}}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x).
Agora derivamos f'(x)=6x^{-1/3} usando novamente a regra da potência:
f''(x)=6\cdot\frac{d}{dx}x^{-1/3}=6\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-1/3-1}.
Simplificando:
f''(x)=6\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-4/3}=-2\,x^{-4/3}.
Na forma de radical:
f''(x)=-2\,x^{-4/3}=-\frac{2}{\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{4}}=-\frac{2}{x^{4/3}}.

Passo 5

Calcular a terceira derivada f^{(3)}(x).
Derivando f''(x)=-2x^{-4/3}:
f^{(3)}(x)=-2\cdot\frac{d}{dx}x^{-4/3}=-2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)x^{-4/3-1}.
Simplificando os coeficientes e o expoente:
f^{(3)}(x)=-2\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)x^{-7/3}=\frac{8}{3}\,x^{-7/3}.
Na forma de radical:
f^{(3)}(x)=\frac{8}{3}\,x^{-7/3}=\frac{8}{3\,x^{7/3}}=\frac{8}{3\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^{7}}.

Passo 6

Discussão sobre domínio e pontos onde as derivadas existem (dica de prova/aviso importante).
  • A função original está definida para todo x real, pois \sqrt[3]{x^{2}} é um número real para qualquer x.
  • As expressões encontradas para f'(x), f''(x) e f^{(3)}(x) usam potências negativas de x e, portanto, não estão definidas em x=0. Ou seja, as fórmulas fechadas valem para x\neq0.
  • Em particular, f é diferenciável para todo x\neq0, mas f'(0) não existe (os limites laterais da derivada tendem a +\infty e -\infty), então f não é diferenciável em x=0.
    Dica prática para prova: ao ver raízes racionais, reescreva como potência e aplique a regra da potência; lembre de checar diferenciabilidade em pontos onde a fórmula produz potências negativas (normalmente x=0).

Passo 7

Exemplo extra curto (para fixar a técnica): se g(x)=5\sqrt[4]{x^{3}}=5x^{3/4}, então
g'(x)=5\cdot\frac{3}{4}x^{-1/4}=\frac{15}{4}x^{-1/4}.
Mesmo procedimento: reescrever, aplicar regra da potência e multiplicar pela constante.

Resposta

f'(x)=6\,x^{-1/3}=\dfrac{6}{\sqrt[3]{x}} for x\neq0
f''(x)=-2\,x^{-4/3}=-\dfrac{2}{x^{4/3}} for x\neq0
f^{(3)}(x)=\dfrac{8}{3}\,x^{-7/3}=\dfrac{8}{3\,x^{7/3}} for x\neq0

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