Determine as três primeiras derivadas de:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as três primeiras derivadas da função dada. Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa: calcular
, e .
Passo 2
O que significa “derivar” aqui (definição intuitiva e notação).
- A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja, a taxa de variação instantânea.
- Notações comuns:
, , . - Formalmente, a derivada é o limite
Não precisamos sempre calcular esse limite diretamente; existem regras que tornam a vida bem mais fácil (e rápidas para prova).
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do fator constante (constante em frente): se
com constante, então
Isto significa que a constante sai na frente quando derivamos.
- Regra da potência (power rule): para inteiro
,
Intuição rápida: cada vez que derivamos uma potência, multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em uma unidade.
- Essas duas regras juntas permitem derivar polinômios com passos simples e mecânicos.
Passo 4
Aplicando as regras para obter a primeira derivada
.
- Temos
. Use a regra do fator constante com e a regra da potência com . - Primeiro calcule a derivada de
:
- Agora aplique a constante
:
- Simplificando o produto:
Passo 5
Agora a segunda derivada
— derivada da derivada.
- Partimos de
. - Use novamente fator constante (
) e a regra da potência com :
- Então
- Simplificando:
Passo 6
Agora a terceira derivada
.
- Partimos de
. - Use fator constante (
) e regra da potência com :
- Então
- Simplificando:
Passo 7
Resumo rápido e dica para prova:
- Para polinômios, aplicar repetidamente a regra da potência e puxar constantes é o procedimento padrão — é rápido e poupa limites.
- Se precisar de mais derivadas, continue aplicando a mesma ideia até o expoente ficar zero (ou a função virar constante).