Determine as três primeiras derivadas de:
f(x)=3 x^{6}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as três primeiras derivadas da função dada. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=3x^{6}.
  • A tarefa: calcular f'(x), f''(x) e f'''(x).

Passo 2

O que significa “derivar” aqui (definição intuitiva e notação).
  • A derivada de uma função em um ponto mede a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto, ou seja, a taxa de variação instantânea.
  • Notações comuns: f'(x), \dfrac{df}{dx}, \dfrac{d}{dx}f(x).
  • Formalmente, a derivada é o limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Não precisamos sempre calcular esse limite diretamente; existem regras que tornam a vida bem mais fácil (e rápidas para prova).

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do fator constante (constante em frente): se f(x)=c\cdot g(x) com c constante, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
Isto significa que a constante sai na frente quando derivamos.
  • Regra da potência (power rule): para inteiro n\ge0,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Intuição rápida: cada vez que derivamos uma potência, multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em uma unidade.
  • Essas duas regras juntas permitem derivar polinômios com passos simples e mecânicos.

Passo 4

Aplicando as regras para obter a primeira derivada f'(x).
  • Temos f(x)=3x^{6}. Use a regra do fator constante com c=3 e a regra da potência com n=6.
  • Primeiro calcule a derivada de x^{6}:
\frac{d}{dx}\big(x^{6}\big)=6x^{5}.
  • Agora aplique a constante 3:
f'(x)=3\cdot 6x^{5}.
  • Simplificando o produto:
f'(x)=18x^{5}.

Passo 5

Agora a segunda derivada f''(x) — derivada da derivada.
  • Partimos de f'(x)=18x^{5}.
  • Use novamente fator constante ( 18) e a regra da potência com n=5:
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)=5x^{4}.
  • Então
f''(x)=18\cdot 5x^{4}.
  • Simplificando:
f''(x)=90x^{4}.

Passo 6

Agora a terceira derivada f'''(x).
  • Partimos de f''(x)=90x^{4}.
  • Use fator constante ( 90) e regra da potência com n=4:
\frac{d}{dx}\big(x^{4}\big)=4x^{3}.
  • Então
f'''(x)=90\cdot 4x^{3}.
  • Simplificando:
f'''(x)=360x^{3}.

Passo 7

Resumo rápido e dica para prova:
  • Para polinômios, aplicar repetidamente a regra da potência e puxar constantes é o procedimento padrão — é rápido e poupa limites.
  • Se precisar de mais derivadas, continue aplicando a mesma ideia até o expoente ficar zero (ou a função virar constante).

Resposta

f'(x)=18x^{5}
f''(x)=90x^{4}
f'''(x)=360x^{3}

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