Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é composta: há uma função externa
aplicada à função interna . - Queremos a taxa de variação de
em relação a , isto é, .
Passo 2
Identificar as funções interna e externa (isso organiza a resolução):
- Função interna:
. - Função externa:
.
Assim. Essa escrita é útil porque vamos aplicar a regra da cadeia para derivar.
Passo 3
Derivar a função externa em relação a
. Primeiro, lembrar a identidade básica:
.
Agora derivar usando a regra do quociente (ou lembrar a derivada pronta):
Agora derivar
Portanto
onde
. Outra forma equivalente que é útil é
Passo 4
Derivar a função interna
. A propriedade fundamental da exponencial é que sua derivada é ela mesma:
Isto é, a taxa de variação de
em relação a
é
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia (produto da derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna). A regra da cadeia diz que, para
,
Aqui
(Passo 3) e
(Passo 4). Substituindo e lembrando que
, obtemos
Podemos reescrever de forma equivalente, usando
, como
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre comece identificando a função interna e externa em compostos. Memorize que
e
. Depois aplique a regra da cadeia direto para chegar ao resultado. Você consegue!