Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{tg}\left(e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{tg}\!\left(e^{x}\right) e pede para encontrar a derivada f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A função é composta: há uma função externa \operatorname{tg}(\cdot) aplicada à função interna e^{x}.
  • Queremos a taxa de variação de f em relação a x, isto é, f'(x).

Passo 2

Identificar as funções interna e externa (isso organiza a resolução):
  • Função interna: u(x)=e^{x}.
  • Função externa: g(u)=\operatorname{tg}(u).
    Assim f(x)=g(u(x)). Essa escrita é útil porque vamos aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Derivar a função externa em relação a u. Primeiro, lembrar a identidade básica:
\operatorname{tg} u = \dfrac{\sin u}{\cos u}.
Agora derivar \operatorname{tg} u usando a regra do quociente (ou lembrar a derivada pronta):
\frac{d}{du}\operatorname{tg} u = \frac{d}{du}\!\left(\frac{\sin u}{\cos u}\right) = \frac{\cos u\cdot\cos u - \sin u\cdot(-\sin u)}{\cos^2 u} = \frac{\cos^2 u + \sin^2 u}{\cos^2 u} = \frac{1}{\cos^2 u}.
Portanto
\frac{d}{du}\operatorname{tg} u = \operatorname{sec}^2 u,
onde \operatorname{sec} u=\dfrac{1}{\cos u}. Outra forma equivalente que é útil é
\operatorname{sec}^2 u = 1+\operatorname{tg}^2 u.

Passo 4

Derivar a função interna u(x)=e^{x}. A propriedade fundamental da exponencial é que sua derivada é ela mesma:
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto é, a taxa de variação de e^{x} em relação a x é e^{x}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia (produto da derivada da externa avaliada na interna pela derivada da interna). A regra da cadeia diz que, para f(x)=g(u(x)),
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\,u'(x).
Aqui g'(u)=\operatorname{sec}^2 u (Passo 3) e u'(x)=e^{x} (Passo 4). Substituindo e lembrando que u(x)=e^{x}, obtemos
f'(x)=\operatorname{sec}^2\!\big(e^{x}\big)\cdot e^{x}.
Podemos reescrever de forma equivalente, usando \operatorname{sec}^2 w = 1+\operatorname{tg}^2 w, como
f'(x)=e^{x}\big(1+\operatorname{tg}^2\!\big(e^{x}\big)\big).

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre comece identificando a função interna e externa em compostos. Memorize que \dfrac{d}{du}\operatorname{tg}u=\operatorname{sec}^2 u e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Depois aplique a regra da cadeia direto para chegar ao resultado. Você consegue!

Resposta

\displaystyle f'(x)=e^{x}\operatorname{sec}^{2}\!\big(e^{x}\big)

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