Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\cos ^{2}(2-5 x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos^{2}(2-5x).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a composição de um quadrado com o cosseno de uma função linear: f(x)=(\cos(2-5x))^{2}.
  • Não há restrições explícitas de domínio, então presumimos x\in\mathbb{R}.
  • O objetivo é obter f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Entenda a estrutura: escrevemos a função como uma composição em duas etapas para aplicar a regra da cadeia com clareza. Defina
u(x)=\cos(2-5x)
e então
f(x)=u(x)^{2}.
Explicação didática: representar assim ajuda porque a derivada de u^{2} é fácil (regra da potência) e depois aplicamos a derivada de u (que é o cosseno composto).

Passo 3

Derivada da função externa (regra da potência): se f(x)=u(x)^{2}, então a derivada em relação a x é
f'(x)=2\,u(x)\,u'(x).
Aqui usamos a regra da potência para funções compostas: a derivada de u^{n} é n u^{n-1} u'(x). No nosso caso n=2.

Passo 4

Agora precisamos de u'(x), onde u(x)=\cos(2-5x). Aplicamos de novo a regra da cadeia: u é o cosseno de v(x)=2-5x. A derivada do cosseno é (regra básica de trigonometria)
\frac{d}{dv}\cos(v) = -\sin(v).
E a derivada de v(x)=2-5x é
v'(x)=-5.
Portanto, pela regra da cadeia,
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(2-5x) = -\sin(2-5x)\cdot v'(x) = -\sin(2-5x)\cdot(-5)=5\sin(2-5x).
Comentário amigo: perceba que dois sinais negativos se cancelam aqui, resultando em +5.

Passo 5

Volte para f'(x)=2\,u(x)\,u'(x) e substitua u(x) e u'(x):
f'(x)=2\cdot\cos(2-5x)\cdot\bigl(5\sin(2-5x)\bigr).
Multiplicando os coeficientes:
f'(x)=10\cos(2-5x)\sin(2-5x).
Explicação: multiplicamos 2 por 5 e mantivemos o produto trigonométrico.

Passo 6

Opcional — simplificação trigonométrica para uma forma mais compacta. Use a identidade de ângulo duplo
\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta).
Aqui, tomando \theta=2-5x, temos
2\sin(2-5x)\cos(2-5x)=\sin(4-10x).
Portanto,
10\cos(2-5x)\sin(2-5x)=5\cdot\bigl(2\sin(2-5x)\cos(2-5x)\bigr)=5\sin(4-10x).
Comentário: essa forma é mais curta e às vezes é preferida em provas.

Resposta

f'(x)=10\cos(2-5x)\sin(2-5x)
f'(x)=5\sin(4-10x)

Exercícios relacionados