Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a composição de um quadrado com o cosseno de uma função linear:
. - Não há restrições explícitas de domínio, então presumimos
. - O objetivo é obter
, a derivada em relação a .
Passo 2
Entenda a estrutura: escrevemos a função como uma composição em duas etapas para aplicar a regra da cadeia com clareza. Defina
e então
Explicação didática: representar assim ajuda porque a derivada de
é fácil (regra da potência) e depois aplicamos a derivada de
(que é o cosseno composto).
Passo 3
Derivada da função externa (regra da potência): se
, então a derivada em relação a
é
Aqui usamos a regra da potência para funções compostas: a derivada de
é
. No nosso caso
.
Passo 4
Agora precisamos de
, onde
. Aplicamos de novo a regra da cadeia:
é o cosseno de
. A derivada do cosseno é (regra básica de trigonometria)
E a derivada de
é
Portanto, pela regra da cadeia,
Comentário amigo: perceba que dois sinais negativos se cancelam aqui, resultando em
.
Passo 5
Volte para
e substitua
e
:
Multiplicando os coeficientes:
Explicação: multiplicamos
por
e mantivemos o produto trigonométrico.
Passo 6
Opcional — simplificação trigonométrica para uma forma mais compacta. Use a identidade de ângulo duplo
Aqui, tomando
, temos
Portanto,
Comentário: essa forma é mais curta e às vezes é preferida em provas.