Questão 3 (20 pontos): A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois cabos, cada um com diâmetro de 4 mm . Se E B é feita de aço com \sigma_{e, a c ̧ o}=180 \mathrm{MPa}̧ e E_{a c ̧ o}=200 \mathrm{GPa}̧, e D C é feita de alumínio com \sigma_{e, a l}=94 \mathrm{MPa} e E_{a l}=70 \mathrm{GPa} determine (a) a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga de modo que nenhum cabo ultrapasse a tensão de escoamento, considerando um fator de segurança de 1,15.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga de modo que nenhum cabo ultrapasse a tensão de escoamento, considerando fator de segurança 1,15. Informações dadas no enunciado:
  • A barra rígida é apoiada por um pino em A e por dois cabos: EB (aço) e DC (alumínio).
  • Diâmetro de cada cabo: d=4\\ \mathrm{mm}.
  • Propriedades do cabo EB (aço): \sigma_{e,\text{aço}}=180\\ \mathrm{MPa}ç, E_{\text{aço}}=200\\ \mathrm{GPa}ç.
  • Propriedades do cabo DC (alumínio): \sigma_{e,\text{al}}=94\\ \mathrm{MPa}, E_{\text{al}}=70\\ \mathrm{GPa}.
  • Fator de segurança: FS=1{,}15.
  • Pergunta: determinar w tal que nenhum cabo ultrapasse sua tensão de escoamento (com o FS dado).
Observação importante: o enunciado refere-se a uma viga com cabos localizados em pontos e orientações específicas (ângulos, distâncias em relação a A, comprimento total L da viga, etc.). Esses dados geométricos (posições de B e C, ângulos dos cabos, comprimento/posição da carga distribuída) são necessários para relacionar as tensões nos cabos com a carga w. A figura/valores dessas distâncias e ângulos não foi fornecida no texto recebido, portanto faltam dados geométricos essenciais para calcular numericament e w.

Passo 2

Vou explicar claramente o que seria feito para calcular w assim que tivéssemos a geometria — dessa forma você aprende como resolver na prova, passo a passo.
  1. Equilíbrio estático da barra rígida: para o corpo em equilíbrio devemos ter soma das forças nulas e soma dos momentos nulos. Escrevemos (esquematicamente):
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_A = 0.
Aqui as incógnitas típicas são a reação no pino A (componentes A_x e A_y) e as tensões nos cabos T_{EB} e T_{DC}. A carga distribuída w (força por unidade de comprimento) aplicada sobre a viga resulta numa força resultante vertical W = wL aplicada no centro da viga (posição \tfrac{L}{2} a partir de uma extremidade), assumindo uma distribuição uniforme sobre comprimento L.
  1. Componentes das tensões: se o cabo EB fizer ângulo \theta_{EB} com a horizontal, sua componente vertical é T_{EB}\sin\theta_{EB}. Similarmente para DC com ângulo \theta_{DC}. As equações relevantes seriam, por exemplo:
\sum F_y:\quad A_y + T_{EB}\sin\theta_{EB} + T_{DC}\sin\theta_{DC} - wL = 0,
\sum M_A:\quad T_{EB}\sin\theta_{EB}\,x_B + T_{DC}\sin\theta_{DC}\,x_C - wL\cdot\frac{L}{2} = 0,
onde x_B e x_C são as distâncias horizontais dos pontos de aplicação das componentes verticais das tensões em relação ao pino em A. Com essas duas equações (e a equação de \sum F_x se necessário), é possível relacionar T_{EB} e T_{DC} com w, desde que se conheçam \theta_{EB},\theta_{DC},x_B,x_C,L.
  1. Estratégia de segurança: para garantir que nenhum cabo ultrapasse a tensão admissível, colocamos T_{EB} igual ao seu máximo admissível e/ou T_{DC} igual ao seu máximo admissível — dependendo da compatibilidade com as equações de equilíbrio pode ser que um cabo alcance seu limite primeiro. Na prática, substituímos nas equações os valores máximos admissíveis de T (calculados a partir da tensão admissível e da área da seção) e resolvemos a equação de momento para obter o w máximo permitido.

Passo 3

Cálculo da tensão admissível (usando fator de segurança). A tensão admissível \sigma_{\text{adm}} é dada por
\sigma_{\text{adm}}=\frac{\sigma_e}{FS},
onde \sigma_e é a tensão de escoamento do material e FS o fator de segurança.
Para o aço ( EB):
\sigma_{\text{adm, aço}}=\frac{180\\ \mathrm{MPa}}{1{,}15}=\frac{180}{1{,}15}\\ \mathrm{MPa}\approx 156{,}5217\\ \mathrm{MPa}.ç
Para o alumínio ( DC):
\sigma_{\text{adm, al}}=\frac{94\\ \mathrm{MPa}}{1{,}15}=\frac{94}{1{,}15}\\ \mathrm{MPa}\approx 81{,}7391\\ \mathrm{MPa}.
(Comentário didático: 1 MPa = 1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2. Então usar mm^2 para áreas e N para forças deixa as unidades imediatamente compatíveis.)

Passo 4

Cálculo da área da seção transversal de cada cabo. Para cabo circular de diâmetro d:
A=\frac{\pi d^2}{4}.
Com d=4\\ \mathrm{mm},
A=\frac{\pi (4)^2}{4}=\pi\cdot 4\\ \mathrm{mm}^2=4\pi\\ \mathrm{mm}^2\approx 12{,}5664\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Cálculo da força de tração máxima admissível em cada cabo: T_{\max}=\sigma_{\text{adm}}\cdot A.
Para EB (aço):
T_{EB,\max}=\sigma_{\text{adm, aço}}\cdot A\approx 156{,}5217\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\times 12{,}5664\\ \mathrm{mm}^2\approx 1966{,}9\\ \mathrm{N}.ç
Para DC (alumínio):
T_{DC,\max}=\sigma_{\text{adm, al}}\cdot A\approx 81{,}7391\\ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2}\times 12{,}5664\\ \mathrm{mm}^2\approx 1027{,}2\\ \mathrm{N}.
(Interpretação: independentemente da geometria, esses são os limites de tração que cada cabo pode suportar sem ultrapassar a tensão admissível com o FS dado.)

Passo 6

Expressão geral de w em termos das tensões máximas e da geometria—para que você saiba como finalizar a conta quando tiver os dados geométricos.
Usando a equação de momentos em torno de A e assumindo que tanto T_{EB} quanto T_{DC} atingem seus máximos admissíveis (ou pelo menos um dos dois alcança o limite — na prática toma-se o caso limitante), a relação seria:
\frac{wL^2}{2}=T_{EB,\max}\sin\theta_{EB}\,x_B + T_{DC,\max}\sin\theta_{DC}\,x_C.
Logo, isolando w,
w=\frac{2}{L^2}\Big(T_{EB,\max}\sin\theta_{EB}\,x_B + T_{DC,\max}\sin\theta_{DC}\,x_C\Big).
Aqui cada símbolo significa:
  • L: comprimento total sobre o qual w atua (m ou mm, consistente com x_B,x_C).
  • x_B, x_C: distâncias horizontais das linhas de ação das componentes verticais das tensões dos cabos em relação ao pino A.
  • \theta_{EB}, \theta_{DC}: ângulos que os cabos fazem com a horizontal (para obter as componentes verticais usa-se \sin do ângulo).
    Se a distribuição w não for sobre todo o comprimento L ou se o ponto de aplicação da resultante for diferente, a expressão do momento deve ser ajustada (por exemplo, wL atuando a uma distância distinta de L/2).

Passo 7

Conclusão prática: com os dados fornecidos (sem a figura/valores geométricos) não é possível calcular numericamente o valor de w. O que eu consegui calcular com os dados disponíveis foi o limite de tração de cada cabo considerando o fator de segurança:
  • T_{EB,\max}\approx 1966{,}9\\ \mathrm{N} (aço),
  • T_{DC,\max}\approx 1027{,}2\\ \mathrm{N} (alumínio).
Com as distâncias x_B,x_C, comprimentos/posição da carga ( L, posição da resultante), e os ângulos \theta_{EB},\theta_{DC}, você aplica a fórmula do Passo 6 e obtém w. Eu mostrei todo o passo a passo que você precisará aplicar na prova.

Resposta

Não é possível determinar numericamente w porque a figura com as distâncias e ângulos necessários (posição de B e C, x_B, x_C, \theta_{EB}, \theta_{DC}, comprimento L, etc.) não foi fornecida.

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