Questão 3 (20 pontos): A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois cabos, cada um com diâmetro de 4 mm . Se
é feita de aço com
e
, e
é feita de alumínio com
e
determine (a) a intensidade da carga distribuída
que pode ser colocada sobre a viga de modo que nenhum cabo ultrapasse a tensão de escoamento, considerando um fator de segurança de 1,15.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a intensidade da carga distribuída
que pode ser colocada sobre a viga de modo que nenhum cabo ultrapasse a tensão de escoamento, considerando fator de segurança
. Informações dadas no enunciado:
- A barra rígida é apoiada por um pino em
e por dois cabos: (aço) e (alumínio). - Diâmetro de cada cabo:
. - Propriedades do cabo
(aço): , . - Propriedades do cabo
(alumínio): , . - Fator de segurança:
. - Pergunta: determinar
tal que nenhum cabo ultrapasse sua tensão de escoamento (com o FS dado).
Observação importante: o enunciado refere-se a uma viga com cabos localizados em pontos e orientações específicas (ângulos, distâncias em relação a
, comprimento total
da viga, etc.). Esses dados geométricos (posições de
e
, ângulos dos cabos, comprimento/posição da carga distribuída) são necessários para relacionar as tensões nos cabos com a carga
. A figura/valores dessas distâncias e ângulos não foi fornecida no texto recebido, portanto faltam dados geométricos essenciais para calcular numericament e
.
Passo 2
Vou explicar claramente o que seria feito para calcular
assim que tivéssemos a geometria — dessa forma você aprende como resolver na prova, passo a passo.
- Equilíbrio estático da barra rígida: para o corpo em equilíbrio devemos ter soma das forças nulas e soma dos momentos nulos. Escrevemos (esquematicamente):
Aqui as incógnitas típicas são a reação no pino
(componentes
e
) e as tensões nos cabos
e
. A carga distribuída
(força por unidade de comprimento) aplicada sobre a viga resulta numa força resultante vertical
aplicada no centro da viga (posição
a partir de uma extremidade), assumindo uma distribuição uniforme sobre comprimento
.
- Componentes das tensões: se o cabo
fizer ângulo com a horizontal, sua componente vertical é . Similarmente para com ângulo . As equações relevantes seriam, por exemplo:
onde
e
são as distâncias horizontais dos pontos de aplicação das componentes verticais das tensões em relação ao pino em
. Com essas duas equações (e a equação de
se necessário), é possível relacionar
e
com
, desde que se conheçam
.
- Estratégia de segurança: para garantir que nenhum cabo ultrapasse a tensão admissível, colocamos
igual ao seu máximo admissível e/ou igual ao seu máximo admissível — dependendo da compatibilidade com as equações de equilíbrio pode ser que um cabo alcance seu limite primeiro. Na prática, substituímos nas equações os valores máximos admissíveis de (calculados a partir da tensão admissível e da área da seção) e resolvemos a equação de momento para obter o máximo permitido.
Passo 3
Cálculo da tensão admissível (usando fator de segurança). A tensão admissível
é dada por
onde
é a tensão de escoamento do material e
o fator de segurança.
Para o aço (
):
Para o alumínio (
):
(Comentário didático: 1 MPa =
. Então usar mm^2 para áreas e N para forças deixa as unidades imediatamente compatíveis.)
Passo 4
Cálculo da área da seção transversal de cada cabo. Para cabo circular de diâmetro
:
Com
,
Passo 5
Cálculo da força de tração máxima admissível em cada cabo:
.
Para
(aço):
Para
(alumínio):
(Interpretação: independentemente da geometria, esses são os limites de tração que cada cabo pode suportar sem ultrapassar a tensão admissível com o
dado.)
Passo 6
Expressão geral de
em termos das tensões máximas e da geometria—para que você saiba como finalizar a conta quando tiver os dados geométricos.
Usando a equação de momentos em torno de
e assumindo que tanto
quanto
atingem seus máximos admissíveis (ou pelo menos um dos dois alcança o limite — na prática toma-se o caso limitante), a relação seria:
Logo, isolando
,
Aqui cada símbolo significa:
-
: comprimento total sobre o qual atua (m ou mm, consistente com ). -
, : distâncias horizontais das linhas de ação das componentes verticais das tensões dos cabos em relação ao pino . -
, : ângulos que os cabos fazem com a horizontal (para obter as componentes verticais usa-se do ângulo).
Se a distribuiçãonão for sobre todo o comprimento ou se o ponto de aplicação da resultante for diferente, a expressão do momento deve ser ajustada (por exemplo, atuando a uma distância distinta de ).
Passo 7
Conclusão prática: com os dados fornecidos (sem a figura/valores geométricos) não é possível calcular numericamente o valor de
. O que eu consegui calcular com os dados disponíveis foi o limite de tração de cada cabo considerando o fator de segurança:
-
(aço), -
(alumínio).
Com as distâncias
, comprimentos/posição da carga (
, posição da resultante), e os ângulos
, você aplica a fórmula do Passo 6 e obtém
. Eu mostrei todo o passo a passo que você precisará aplicar na prova.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a figura com as distâncias e ângulos necessários (posição de
e
,
,
,
,
, comprimento
, etc.) não foi fornecida.