Exercício 2 Calcule (usando integração por partes)
\int x^{4} e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{4} e^{2 x}\,dx
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio x^{4} e uma exponencial e^{2x}. Não há limites, portanto queremos uma primitiva (com constante de integração C).
O que precisamos entregar: uma expressão fechada para a primitiva, ou seja, uma fórmula que, derivada, retorne x^{4}e^{2x}.

Passo 2

Apresento a ferramenta principal: a fórmula de integração por partes. Para duas funções u(x) e v(x) valem:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para ser diferenciada (ficar mais simples) e dv é a parte que integramos facilmente. No nosso caso é conveniente escolher u como o polinômio (que diminui de grau ao derivar) e dv como a exponencial (que é fácil de integrar).

Passo 3

Defino a família de integrais
I_n=\int x^n e^{2x}\,dx,
para n inteiro não negativo. Vou obter uma relação de recorrência que facilita o cálculo. Tomando u=x^n e dv=e^{2x}\,dx temos
du = n x^{n-1}\,dx,\qquad v=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}.
Aplicando integração por partes:
I_n = u v - \int v\,du = \frac{1}{2}x^n e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x}\cdot n x^{n-1}\,dx.
Colocando em forma de recorrência:
I_n = \frac{1}{2}x^n e^{2x} - \frac{n}{2} I_{n-1}.

Passo 4

Agora vamos calcular I_4 usando a recorrência. Primeiro precisamos de I_0, depois I_1, I_2, I_3 e finalmente I_4.
Calcule I_0:
I_0=\int e^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C.

Passo 5

Calcule I_1 usando a recorrência com n=1:
I_1=\frac{1}{2}x e^{2x}-\frac{1}{2}\,I_0.
Substituindo I_0:
I_1=\frac{1}{2}x e^{2x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} =\;e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\right)+C.

Passo 6

Calcule I_2 com n=2:
I_2=\frac{1}{2}x^2 e^{2x}-\frac{2}{2}I_1 =\frac{1}{2}x^2 e^{2x}-I_1.
Substituindo a expressão de I_1:
I_2=e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\right)+C.
(Veja que derivei termo a termo: \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \left(\frac{1}{2}x e^{2x}-\frac{1}{4}e^{2x}\right).)

Passo 7

Calcule I_3 com n=3:
I_3=\frac{1}{2}x^3 e^{2x}-\frac{3}{2}I_2.
Multiplicando I_2 por \tfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}I_2 = e^{2x}\!\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{3}{8}\right).
Portanto
I_3 = e^{2x}\!\left(\frac{1}{2}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)+C.

Passo 8

Finalmente calcule I_4 com n=4:
I_4=\frac{1}{2}x^4 e^{2x}-\frac{4}{2}I_3 =\frac{1}{2}x^4 e^{2x}-2I_3.
Multiplicando I_3 por 2:
2I_3 = e^{2x}\!\left(x^3-\tfrac{3}{2}x^2+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{3}{4}\right).
Subtraindo:
I_4 = e^{2x}\!\left(\tfrac{1}{2}x^4 - x^3 + \tfrac{3}{2}x^2 - \tfrac{3}{2}x + \tfrac{3}{4}\right)+C.

Passo 9

Comentário prático para a prova: em integrais do tipo \int x^n e^{ax}\,dx é eficiente usar a recorrência
I_n=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1},
ou aplicar integração por partes repetidamente (ou o método tabular), sempre escolhendo u=x^n e dv=e^{ax}dx. Isso reduz o grau do polinômio a cada passo até chegar a I_0, que é direto.

Resposta

\boxed{\int x^{4} e^{2 x}\,dx = e^{2x}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{4}-x^{3}+\tfrac{3}{2}x^{2}-\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}\right)+C}

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