Exercício 2 Calcule (usando integração por partes)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de um polinômio
e uma exponencial
. Não há limites, portanto queremos uma primitiva (com constante de integração
).
O que precisamos entregar: uma expressão fechada para a primitiva, ou seja, uma fórmula que, derivada, retorne .
O que precisamos entregar: uma expressão fechada para a primitiva, ou seja, uma fórmula que, derivada, retorne
Passo 2
Apresento a ferramenta principal: a fórmula de integração por partes. Para duas funções
e
valem:
Aqui
é uma função que escolhemos para ser diferenciada (ficar mais simples) e
é a parte que integramos facilmente. No nosso caso é conveniente escolher
como o polinômio (que diminui de grau ao derivar) e
como a exponencial (que é fácil de integrar).
Passo 3
Defino a família de integrais
para
inteiro não negativo. Vou obter uma relação de recorrência que facilita o cálculo. Tomando
e
temos
Aplicando integração por partes:
Colocando em forma de recorrência:
Passo 4
Agora vamos calcular
usando a recorrência. Primeiro precisamos de
, depois
,
,
e finalmente
.
Calcule
:
Passo 5
Calcule
usando a recorrência com
:
Substituindo
:
Passo 6
Calcule
com
:
Substituindo a expressão de
:
(Veja que derivei termo a termo:
.)
Passo 7
Calcule
com
:
Multiplicando
por
:
Portanto
Passo 8
Finalmente calcule
com
:
Multiplicando
por
:
Subtraindo:
Passo 9
Comentário prático para a prova: em integrais do tipo
é eficiente usar a recorrência
ou aplicar integração por partes repetidamente (ou o método tabular), sempre escolhendo
e
. Isso reduz o grau do polinômio a cada passo até chegar a
, que é direto.