Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas: a função é a secante aplicada à expressão
. O que queremos é
, a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 2
Estratégia (explicação didática, sem pular etapas): vamos usar a regra da cadeia porque a função é composta — temos uma função externa
aplicada a uma função interna
. A regra da cadeia diz o seguinte: se temos
, então
Aqui
é a função externa (no nosso caso
) e
é a função interna (no nosso caso
). Vou explicar passo a passo como obter
e
e depois multiplicar conforme a regra.
Passo 3
Derivada da função externa
(a regra que precisamos conhecer): uma maneira simples de obter
é lembrar que
. Podemos derivar usando a regra da potência e a derivada da
:
Derivando, usando a cadeia:
Como
, temos
Agora transformamos essa expressão em uma forma mais conhecida:
. Portanto
Resumo útil: a derivada da secante é a secante vezes a tangente.
Passo 4
Derivada da função interna
: essa é uma função linear. A derivada de
é
. Então
Explicando: a constante
desaparece (derivada zero) e a derivada de
é
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
Substituindo
, obtemos
Essa é a forma final e direta que você deve escrever na prova. É bom sempre apresentar a justificativa: derivada da secante vezes derivada do argumento.
Passo 6
Pequeno exemplo extra para fixar (sem pular etapas): se tivéssemos
, seguiríamos o mesmo raciocínio: derivada externa
dá
, derivada interna de
é
, então
Repare que é exatamente o mesmo padrão que usamos em
.