Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sec} (8 x-1)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\operatorname{sec}(8x-1).
Informações dadas: a função é a secante aplicada à expressão (8x-1). O que queremos é f'(x), a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Estratégia (explicação didática, sem pular etapas): vamos usar a regra da cadeia porque a função é composta — temos uma função externa \operatorname{sec}(\cdot) aplicada a uma função interna (8x-1). A regra da cadeia diz o seguinte: se temos F(x)=g(u(x)), então
F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui g é a função externa (no nosso caso g(t)=\operatorname{sec} t) e u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=8x-1). Vou explicar passo a passo como obter g'(t) e u'(x) e depois multiplicar conforme a regra.

Passo 3

Derivada da função externa g(t)=\operatorname{sec} t (a regra que precisamos conhecer): uma maneira simples de obter g'(t) é lembrar que \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}. Podemos derivar usando a regra da potência e a derivada da \cos:
\operatorname{sec} t = (\cos t)^{-1}.
Derivando, usando a cadeia:
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \frac{d}{dt}(\cos t)^{-1} = -1\cdot(\cos t)^{-2}\cdot\frac{d}{dt}(\cos t).
Como \dfrac{d}{dt}\cos t = -\sin t, temos
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = -(\cos t)^{-2}\cdot(-\sin t)=\frac{\sin t}{\cos^2 t}.
Agora transformamos essa expressão em uma forma mais conhecida: \dfrac{\sin t}{\cos^2 t} = \dfrac{1}{\cos t}\cdot\dfrac{\sin t}{\cos t} = \operatorname{sec} t\cdot\tan t. Portanto
\frac{d}{dt}\operatorname{sec} t = \operatorname{sec} t\cdot\tan t.
Resumo útil: a derivada da secante é a secante vezes a tangente.

Passo 4

Derivada da função interna u(x)=8x-1: essa é uma função linear. A derivada de ax+b é a. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(8x-1)=8.
Explicando: a constante -1 desaparece (derivada zero) e a derivada de 8x é 8.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia com g'(t)=\operatorname{sec} t\tan t e u'(x)=8:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x) = \big(\operatorname{sec}(u(x))\tan(u(x))\big)\cdot 8.
Substituindo u(x)=8x-1, obtemos
f'(x)=8\operatorname{sec}(8x-1)\tan(8x-1).
Essa é a forma final e direta que você deve escrever na prova. É bom sempre apresentar a justificativa: derivada da secante vezes derivada do argumento.

Passo 6

Pequeno exemplo extra para fixar (sem pular etapas): se tivéssemos h(x)=\operatorname{sec}(2x), seguiríamos o mesmo raciocínio: derivada externa \operatorname{sec} t \operatorname{sec} t\tan t, derivada interna de 2x é 2, então
h'(x)=2\operatorname{sec}(2x)\tan(2x).
Repare que é exatamente o mesmo padrão que usamos em f(x).

Resposta

f'(x)=8\operatorname{sec}(8x-1)\tan(8x-1)

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