Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações importantes fornecidas:
- A função a derivar é
acima. - O argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja
. Isso já implica e restringe o domínio (mais adiante eu uso isso só para justificar manipulações algébricas/derivação). - Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Regra básica que vamos usar: se
e
é diferenciável e não nula no domínio, então
Explicando de leve: o log é uma função composta — primeiro calcula-se
e depois aplica-se
. A derivada de
em um ponto
é
; pela regra da cadeia multiplicamos por
. Exemplo simples:
.
Passo 3
Identifico a função interior
:
Para facilitar a diferenciação, escrevo em potências:
Agora derivo termo a termo (regra da potência:
):
Passo 4
Agora aplico a fórmula da derivada do logaritmo:
Vou simplificar essa fração. Primeiro fatoro fatores em potências de
:
Dividindo numerador por denominador:
Passo 5
Interpretação final e observação sobre domínio: a forma final
é válida nos pontos do domínio original onde
(ou seja
e a expressão dentro do log é positiva). Note que a fórmula algébrica da derivada foi obtida apenas usando regras padrão (regra da cadeia e regras de potência) e simplificação algébrica.