Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\ln\!\left(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações importantes fornecidas:
  • A função a derivar é f(x) acima.
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}>0. Isso já implica x\neq 0 e restringe o domínio (mais adiante eu uso isso só para justificar manipulações algébricas/derivação).
  • Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: se g(x)=\ln(u(x)) e u(x) é diferenciável e não nula no domínio, então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando de leve: o log é uma função composta — primeiro calcula-se u(x) e depois aplica-se \ln. A derivada de \ln em um ponto u é 1/u; pela regra da cadeia multiplicamos por u'(x). Exemplo simples: \frac{d}{dx}\ln(x^2)=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}.

Passo 3

Identifico a função interior u(x):
u(x)=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}.
Para facilitar a diferenciação, escrevo em potências:
u(x)=x^{-3}+x^{-2}.
Agora derivo termo a termo (regra da potência: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}):
u'(x)=(-3)x^{-4}+(-2)x^{-3}=-3x^{-4}-2x^{-3}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula da derivada do logaritmo:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{-3x^{-4}-2x^{-3}}{x^{-3}+x^{-2}}.
Vou simplificar essa fração. Primeiro fatoro fatores em potências de x:
\text{numerador}=-x^{-4}(3+2x), \qquad \text{denominador}=x^{-3}(1+x).
Dividindo numerador por denominador:
f'(x)=\frac{-x^{-4}(3+2x)}{x^{-3}(1+x)}=-\frac{3+2x}{x(1+x)}.

Passo 5

Interpretação final e observação sobre domínio: a forma final
f'(x)=-\frac{2x+3}{x(1+x)}
é válida nos pontos do domínio original onde \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}>0 (ou seja x\neq 0 e a expressão dentro do log é positiva). Note que a fórmula algébrica da derivada foi obtida apenas usando regras padrão (regra da cadeia e regras de potência) e simplificação algébrica.

Resposta

\displaystyle -\frac{2x+3}{x(1+x)}

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