Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
. \n
Informações relevantes: a função está escrita com um logaritmo natural e uma raiz quadrada aplicada a uma razão. Não há outros dados numéricos; devemos cuidar do domínio (onde a função está definida), que será importante ao final.
Informações relevantes: a função está escrita com um logaritmo natural e uma raiz quadrada aplicada a uma razão. Não há outros dados numéricos; devemos cuidar do domínio (onde a função está definida), que será importante ao final.
Passo 2
Vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos antes de derivar — isso torna a diferenciação muito mais direta. Lembre que para todo
e todo
vale
e para
Aplicando essas propriedades a
, obtemos
Agora aplicamos a segunda propriedade (diferença de logaritmos):
Essa forma é conveniente porque é só a soma (diferença) de logaritmos de funções lineares.
Passo 3
Explico a fórmula que vamos usar para derivar: se
é diferenciável e
, então
Aqui
será uma função linear (
ou
), cuja derivada é simples:
e
.
Aplicando essa regra a cada termo em
, temos
Passo 4
Agora precisamos simplificar a expressão obtida. Somamos as frações dentro dos parênteses:
Calcule a soma
. Usando o MMC
,
Substituindo de volta e lembrando do fator
, temos
Passo 5
Comentário sobre domínio: a expressão original exige
e que os logaritmos sejam definidos, e também devemos evitar divisões por zero na derivada. Aqui isso implica
. A fórmula encontrada para
vale para todo
tal que
.