Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\ln \sqrt{\frac{2-t}{2+t}}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(t)=\ln \sqrt{\frac{2-t}{2+t}} e pede para encontrar a derivada f'(t). \n
Informações relevantes: a função está escrita com um logaritmo natural e uma raiz quadrada aplicada a uma razão. Não há outros dados numéricos; devemos cuidar do domínio (onde a função está definida), que será importante ao final.

Passo 2

Vamos simplificar a função usando propriedades dos logaritmos antes de derivar — isso torna a diferenciação muito mais direta. Lembre que para todo a>0 e todo b\in\mathbb{R} vale
\ln(a^b)=b\ln(a)
e para a,b>0
\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b).
Aplicando essas propriedades a \displaystyle f(t)=\ln\sqrt{\frac{2-t}{2+t}}=\ln\!\left(\left(\frac{2-t}{2+t}\right)^{1/2}\right), obtemos
\displaystyle f(t)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{2-t}{2+t}\right).
Agora aplicamos a segunda propriedade (diferença de logaritmos):
\displaystyle f(t)=\tfrac{1}{2}\big(\ln(2-t)-\ln(2+t)\big).
Essa forma é conveniente porque é só a soma (diferença) de logaritmos de funções lineares.

Passo 3

Explico a fórmula que vamos usar para derivar: se g(t) é diferenciável e g(t)>0, então
\frac{d}{dt}\ln(g(t))=\frac{g'(t)}{g(t)}.
Aqui g(t) será uma função linear ( 2-t ou 2+t), cuja derivada é simples: \frac{d}{dt}(2-t)=-1 e \frac{d}{dt}(2+t)=1.
Aplicando essa regra a cada termo em \displaystyle f(t)=\tfrac{1}{2}\big(\ln(2-t)-\ln(2+t)\big), temos
\begin{aligned} f'(t)&=\tfrac{1}{2}\left(\frac{d}{dt}\ln(2-t)-\frac{d}{dt}\ln(2+t)\right)\\[4pt] &=\tfrac{1}{2}\left(\frac{-1}{2-t}-\frac{1}{2+t}\right). \end{aligned}]

Passo 4

Agora precisamos simplificar a expressão obtida. Somamos as frações dentro dos parênteses:
\frac{-1}{2-t}-\frac{1}{2+t}=-\left(\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}\right).
Calcule a soma \displaystyle \frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}. Usando o MMC (2-t)(2+t)=4-t^2,
\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}=\frac{(2+t)+(2-t)}{(2-t)(2+t)}=\frac{4}{4-t^2}.
Substituindo de volta e lembrando do fator \tfrac{1}{2}, temos
f'(t)=\tfrac{1}{2}\left(-\frac{4}{4-t^2}\right)=-\frac{2}{4-t^2}.

Passo 5

Comentário sobre domínio: a expressão original exige \frac{2-t}{2+t}>0 e que os logaritmos sejam definidos, e também devemos evitar divisões por zero na derivada. Aqui isso implica t\neq \pm 2. A fórmula encontrada para f'(t) vale para todo t tal que t\neq \pm 2.

Resposta

\displaystyle f'(t)=-\frac{2}{4-t^2}

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