Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a derivada de
.
Informações dadas: a função é . Vou assumir que
é o logaritmo natural (ou seja,
).
Domínio relevante (informação útil): como para todo
, a função está bem definida em todos os reais.
Informações dadas: a função é
Domínio relevante (informação útil): como
Passo 2
Primeira simplificação usando propriedade de logaritmo e raiz:
então, pela regra
,
Explicação rápida da propriedade: elevar a entrada do log a uma potência é o mesmo que multiplicar o log dessa entrada por essa potência — isso facilita a derivação porque tira a potência para fora.
Passo 3
Regra geral que vamos usar: se
com
diferenciável e
, então
Por que? Porque
para
, e pelo teorema da cadeia (chain rule) multiplicamos pela derivada da função interna
. Aqui
é a expressão dentro do log.
Passo 4
Agora aplico essa regra à forma simplificada
:
Calculo a derivada da parte interna
: usando a regra do polinômio (derivada de
é
e multiplicando pelo coeficiente),
Substituindo:
Passo 5
Simplificando a fração
: como
, obtemos
Comentário: alternativa (mais direta, mas equivalente) seria aplicar a regra da cadeia sobre
sem primeiro puxar o expoente; o resultado final é o mesmo.
Passo 6
Domínio da derivada: a expressão
está definida para todo
porque
para todo
. Então a derivada vale para todos os reais. Força aí — já deu pra ver que a conta é curtinha!