Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\log \sqrt[3]{3 x^{2}+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada de f(x)=\log \sqrt[3]{3 x^{2}+1}.
Informações dadas: a função é f(x)=\log\big(\sqrt[3]{3x^{2}+1}\big). Vou assumir que \log é o logaritmo natural (ou seja, \log=\ln).
Domínio relevante (informação útil): como 3x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, a função está bem definida em todos os reais.

Passo 2

Primeira simplificação usando propriedade de logaritmo e raiz:
\sqrt[3]{3x^{2}+1}=(3x^{2}+1)^{1/3},
então, pela regra \log(a^{b})=b\log(a),
f(x)=\log\big((3x^{2}+1)^{1/3}\big)=\frac{1}{3}\log(3x^{2}+1).
Explicação rápida da propriedade: elevar a entrada do log a uma potência é o mesmo que multiplicar o log dessa entrada por essa potência — isso facilita a derivação porque tira a potência para fora.

Passo 3

Regra geral que vamos usar: se g(x)=\log(u(x)) com u(x) diferenciável e u(x)>0, então
\frac{d}{dx}\log(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Por que? Porque \frac{d}{dx}\log(x)=\frac{1}{x} para x>0, e pelo teorema da cadeia (chain rule) multiplicamos pela derivada da função interna u'(x). Aqui u(x) é a expressão dentro do log.

Passo 4

Agora aplico essa regra à forma simplificada f(x)=\frac{1}{3}\log(3x^{2}+1):
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big[\log(3x^{2}+1)\big]=\frac{1}{3}\cdot\frac{(3x^{2}+1)'}{3x^{2}+1}.
Calculo a derivada da parte interna (3x^{2}+1)': usando a regra do polinômio (derivada de x^{2} é 2x e multiplicando pelo coeficiente),
(3x^{2}+1)'=3\cdot 2x = 6x.
Substituindo:
f'(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{6x}{3x^{2}+1}.

Passo 5

Simplificando a fração \frac{1}{3}\cdot\frac{6x}{3x^{2}+1}: como \frac{1}{3}\cdot 6x=2x, obtemos
f'(x)=\frac{2x}{3x^{2}+1}.
Comentário: alternativa (mais direta, mas equivalente) seria aplicar a regra da cadeia sobre \log\big((3x^{2}+1)^{1/3}\big) sem primeiro puxar o expoente; o resultado final é o mesmo.

Passo 6

Domínio da derivada: a expressão \frac{2x}{3x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R} porque 3x^{2}+1\neq 0 para todo x. Então a derivada vale para todos os reais. Força aí — já deu pra ver que a conta é curtinha!

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{3x^{2}+1}

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