Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada em relação à variável
. Informação relevante:
é a constante pi e
é um parâmetro constante (não depende de
). A incógnita é
. A tarefa é calcular
.
Passo 2
Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
Ou seja, derivada de uma soma é soma das derivadas.
quando
é constante (não depende de
).
onde
é um número real (aqui usaremos
e
). Essas regras são fáceis: trate constantes multiplicando e aplique a regra da potência ao monômio em
.
Passo 3
Aplique a regra da soma à função: derivamos cada termo separadamente. Primeiro termo:
onde
é constante em relação a
. Usando a regra da constante e a regra da potência,
Portanto o primeiro termo contribui com
Passo 4
Agora o segundo termo. Reescrevo-o como constante multiplicando
:
Aplicando a regra da constante e a regra da potência,
O
no numerador e no denominador se cancelam, sobrando
Passo 5
Somando as derivadas dos dois termos (pela regra da soma), obtemos
Podemos fatorar
para deixar mais enxuto:
Ambas as formas são equivalentes; escolher a forma fatorada pode ser útil em problemas que pedem fator comum ou para resolver equações
.