Encontre a derivada das seguintes funções:
f(r)=\pi r^{2} h+\frac{4 \pi r^{3}}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(r)=\pi r^{2} h+\frac{4 \pi r^{3}}{3}
e pede para encontrar a derivada em relação à variável r. Informação relevante: \pi é a constante pi e h é um parâmetro constante (não depende de r). A incógnita é r. A tarefa é calcular f'(r).

Passo 2

Revisão das regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
\text{(a) Regra da soma: }\frac{d}{dr}\big(u(r)+v(r)\big)=\frac{du}{dr}+\frac{dv}{dr}.
Ou seja, derivada de uma soma é soma das derivadas.
\text{(b) Regra da constante: }\frac{d}{dr}\big(C\cdot g(r)\big)=C\cdot \frac{dg}{dr},
quando C é constante (não depende de r).
\text{\text{(c)} Regra da potência (power rule): }\frac{d}{dr}\big(r^{n}\big)=n\,r^{n-1},ê
onde n é um número real (aqui usaremos n=2 e n=3). Essas regras são fáceis: trate constantes multiplicando e aplique a regra da potência ao monômio em r.

Passo 3

Aplique a regra da soma à função: derivamos cada termo separadamente. Primeiro termo:
\pi r^{2} h = (\pi h)\cdot r^{2},
onde \pi h é constante em relação a r. Usando a regra da constante e a regra da potência,
\frac{d}{dr}\big(\pi r^{2} h\big)=\pi h\cdot \frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=\pi h\cdot 2r.
Portanto o primeiro termo contribui com
2\pi h r.

Passo 4

Agora o segundo termo. Reescrevo-o como constante multiplicando r^{3}:
\frac{4\pi r^{3}}{3}=\left(\frac{4\pi}{3}\right)r^{3}.
Aplicando a regra da constante e a regra da potência,
\frac{d}{dr}\left(\left(\frac{4\pi}{3}\right)r^{3}\right)=\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cdot \frac{d}{dr}\big(r^{3}\big)=\left(\frac{4\pi}{3}\right)\cdot 3r^{2}.
O 3 no numerador e no denominador se cancelam, sobrando
4\pi r^{2}.

Passo 5

Somando as derivadas dos dois termos (pela regra da soma), obtemos
f'(r)=2\pi h r + 4\pi r^{2}.
Podemos fatorar 2\pi r para deixar mais enxuto:
f'(r)=2\pi r\big(h+2r\big).
Ambas as formas são equivalentes; escolher a forma fatorada pode ser útil em problemas que pedem fator comum ou para resolver equações f'(r)=0.

Resposta

f'(r)=2\pi h r + 4\pi r^{2}
f'(r)=2\pi r\big(h+2r\big)

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