Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
A tarefa é calcular
, a derivada de
em termos de
.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever a raiz em termos de potência:
. Aplicando isso ao interior temos
Note que usei a igualdade de potências
.
Passo 3
Usando a igualdade acima, a função fica
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo: para
,
. Aqui
para todo
, então é válido extrair o expoente:
Passo 4
A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Portanto
Agora precisamos da regra de derivação do logaritmo composto: se
então
Isto é uma aplicação da regra da cadeia: derivada de
em relação a
é
, multiplicada por
.
Passo 5
Aqui
. Calculamos
usando a regra da potência: a derivada de
é
, e multiplicando pelo coeficiente
obtemos
Passo 6
Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo:
Multiplicando pela constante
obtemos
Passo 7
Simplificamos a fração
, ficando
Como pequeno exemplo extra (para fixar): se tivéssemos
, seguiríamos o mesmo caminho e acharíamos
(após simplificar), mostrando que o procedimento se aplica sempre.