Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \sqrt[5]{\left(1+5 x^{2}\right)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\ln \sqrt[5]{\left(1+5 x^{2}\right)^{4}}.\n
Informações fornecidas:
f(x)=\ln \sqrt[5]{\left(1+5 x^{2}\right)^{4}}.
A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a raiz em termos de potência: \sqrt[5]{A}=A^{1/5}. Aplicando isso ao interior temos
\sqrt[5]{\left(1+5x^{2}\right)^{4}}=\left(1+5x^{2}\right)^{4\cdot\frac{1}{5}}=\left(1+5x^{2}\right)^{\frac{4}{5}}.
Note que usei a igualdade de potências (B^a)^{b}=B^{ab}.

Passo 3

Usando a igualdade acima, a função fica
f(x)=\ln\left(\left(1+5x^{2}\right)^{\frac{4}{5}}\right).
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo: para A>0, \ln(A^{c})=c\ln(A). Aqui 1+5x^{2}\ge 1>0 para todo x, então é válido extrair o expoente:
f(x)=\frac{4}{5}\,\ln\left(1+5x^{2}\right).

Passo 4

A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Portanto
f'(x)=\frac{4}{5}\cdot\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1+5x^{2}\right)\right].
Agora precisamos da regra de derivação do logaritmo composto: se g(x)=\ln(u(x)) então
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é uma aplicação da regra da cadeia: derivada de \ln em relação a u é 1/u, multiplicada por u'(x).

Passo 5

Aqui u(x)=1+5x^{2}. Calculamos u'(x) usando a regra da potência: a derivada de x^{2} é 2x, e multiplicando pelo coeficiente 5 obtemos
u'(x)=5\cdot 2x=10x.

Passo 6

Aplicando a fórmula da derivada do logaritmo:
\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1+5x^{2}\right)\right]=\frac{10x}{1+5x^{2}}.
Multiplicando pela constante \tfrac{4}{5} obtemos
f'(x)=\frac{4}{5}\cdot\frac{10x}{1+5x^{2}}=\frac{40x}{5(1+5x^{2})}.

Passo 7

Simplificamos a fração \tfrac{40x}{5}=8x, ficando
f'(x)=\frac{8x}{1+5x^{2}}.
Como pequeno exemplo extra (para fixar): se tivéssemos g(x)=\ln\sqrt[3]{(1+3x)^{2}}, seguiríamos o mesmo caminho e acharíamos g'(x)=\dfrac{2}{1+3x} (após simplificar), mostrando que o procedimento se aplica sempre.

Resposta

\dfrac{8x}{1+5x^{2}}

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