Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
A expressão
é sempre positiva, logo o denominador nunca zera e a função está definida para todo
. A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Escolho reescrever
como produto para usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia, porque isso costuma tornar os passos e a álgebra mais claros do que aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrevemos:
Passo 3
Regra do produto (fórmula e interpretação):
Isto significa: para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, somando a primeira multiplicada pela derivada da segunda. Vou aplicar isto com
e
.
Passo 4
Regra da cadeia e regra da potência (fórmula e interpretação):
Se , então
Se
No caso de uma potência
,
então para
temos
Aqui usaremos com
.
Passo 5
Calculemos
. Com
,
porque a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Calculemos
passo a passo para
.
Aplicando a regra da potência com :
Aplicando a regra da potência com
Agora
. Substituindo:
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
:
Portanto
Passo 8
Vamos colocar tudo com o mesmo fator em potência para simplificar. Note que
. Assim:
Agora simplificamos o conteúdo do colchete:
Substituindo de volta:
Passo 9
Escrevendo a resposta de forma mais padrão como fração: