Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{3-x}{\sqrt{x^{4}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{3-x}{\sqrt{x^{4}+1}}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{numerador: }3-x,\qquad \text{denominador: }\sqrt{x^{4}+1}=(x^{4}+1)^{1/2}.
A expressão x^{4}+1 é sempre positiva, logo o denominador nunca zera e a função está definida para todo x\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar f'(x).

Passo 2

Escolho reescrever f como produto para usar a regra do produto combinada com a regra da cadeia, porque isso costuma tornar os passos e a álgebra mais claros do que aplicar diretamente a regra do quociente. Reescrevemos:
f(x)=(3-x)\,(x^{4}+1)^{-1/2}.

Passo 3

Regra do produto (fórmula e interpretação):
( u(x)\,v(x) )' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Isto significa: para derivar um produto, derivamos a primeira função e multiplicamos pela segunda, somando a primeira multiplicada pela derivada da segunda. Vou aplicar isto com u(x)=3-x e v(x)=(x^{4}+1)^{-1/2}.

Passo 4

Regra da cadeia e regra da potência (fórmula e interpretação):
Se v(x)=g(h(x)), então
v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
No caso de uma potência g(t)=t^{n},
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1},
então para v(x)=(x^{4}+1)^{n} temos
v'(x)=n\,(x^{4}+1)^{n-1}\cdot (x^{4}+1)'.
Aqui usaremos com n=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calculemos u'(x). Com u(x)=3-x,
u'(x)=-1,
porque a derivada de 3 é 0 e a derivada de -x é -1.

Passo 6

Calculemos v'(x) passo a passo para v(x)=(x^{4}+1)^{-1/2}.
Aplicando a regra da potência com n=-\tfrac{1}{2}:
v'(x)=-\tfrac{1}{2}(x^{4}+1)^{-3/2}\cdot (x^{4}+1)'.
Agora (x^{4}+1)'=4x^{3}. Substituindo:
v'(x)=-\tfrac{1}{2}(x^{4}+1)^{-3/2}\cdot 4x^{3}=-2x^{3}(x^{4}+1)^{-3/2}.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=-1\cdot (x^{4}+1)^{-1/2} + (3-x)\cdot\bigl(-2x^{3}(x^{4}+1)^{-3/2}\bigr).
Portanto
f'(x)=-(x^{4}+1)^{-1/2}-2x^{3}(3-x)(x^{4}+1)^{-3/2}.

Passo 8

Vamos colocar tudo com o mesmo fator em potência para simplificar. Note que (x^{4}+1)^{-1/2}=(x^{4}+1)\,(x^{4}+1)^{-3/2}. Assim:
f'(x)=(x^{4}+1)^{-3/2}\Bigl[-(x^{4}+1)-2x^{3}(3-x)\Bigr].
Agora simplificamos o conteúdo do colchete:
-(x^{4}+1)-2x^{3}(3-x)=-x^{4}-1-6x^{3}+2x^{4}=x^{4}-6x^{3}-1.
Substituindo de volta:
f'(x)=(x^{4}+1)^{-3/2}\bigl(x^{4}-6x^{3}-1\bigr).

Passo 9

Escrevendo a resposta de forma mais padrão como fração:
f'(x)=\frac{x^{4}-6x^{3}-1}{(x^{4}+1)^{3/2}}.

Resposta

\frac{x^{4}-6x^{3}-1}{(x^{4}+1)^{3/2}}

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