Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(2-x^{3}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(2-x^{3}\right)^{4}.
Informações dadas e o que se pede:
\;1.\; A função é explicitamente \;f(x)=(2-x^{3})^{4}.
\;2.\; Precisamos encontrar f'(x), ou seja, a derivada de f em relação a x.
\;3.\; A expressão envolve uma potência de uma expressão que depende de x (ou seja, há uma composição de funções).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): quando uma função é composição de duas funções, isto é, quando temos f(x)=g(h(x)), a derivada de f é dada pela regra da cadeia. A fórmula é
(g\circ h)'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando cada parte:
\;g é a “função externa” e \;h é a “função interna”.
\;g'(u) é a derivada de g em relação à sua variável (que eu chamei de u).
\;h'(x) é a derivada de h em relação a x.
Para aplicar: derivamos a função externa como se sua variável fosse uma letra genérica u, depois substituímos u=h(x) e multiplicamos pelo derivado da função interna h'(x).
Exemplo rápido para fixar (bem simples): seja \;k(x)=(3x+1)^{2}. Identificamos g(u)=u^{2} e h(x)=3x+1. Então g'(u)=2u e h'(x)=3. Pela regra da cadeia:
k'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=2(3x+1)\cdot 3=6(3x+1).
Isso mostra o passo a passo: derivar externo, avaliar no interno, multiplicar pela derivada do interno.

Passo 3

Agora aplicamos ao problema. Identificamos as duas funções:
u(x)=2-x^{3}\qquad\text{(função interna)}çã
g(u)=u^{4}\qquad\text{(função externa, escrita em termos de \(u\))}çã
Calculemos as derivadas separadamente:
Derivada da interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(2-x^{3}\big)=0-\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=-3x^{2}.
Aqui usei que a derivada de 2 é 0 e a derivada de x^{3} é 3x^{2}.
Derivada da externa em função de u:
g'(u)=\frac{d}{du}\big(u^{4}\big)=4u^{3}.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x)=g'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=4\big(u(x)\big)^{3}\cdot\big(-3x^{2}\big).

Passo 4

Substituindo u(x)=2-x^{3} e simplificando o produto:
f'(x)=4(2-x^{3})^{3}\cdot(-3x^{2})=-12x^{2}(2-x^{3})^{3}.
Esta é a forma final simplificada da derivada. Observação: a derivada está definida para todo x\in\mathbb{R}, já que não há divisão nem raiz de índice par com argumento negativo.

Resposta

f'(x)=-12x^{2}(2-x^{3})^{3}

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