Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
A função é explicitamente
.
Precisamos encontrar
, ou seja, a derivada de
em relação a
.
A expressão envolve uma potência de uma expressão que depende de
(ou seja, há uma composição de funções).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): quando uma função é composição de duas funções, isto é, quando temos
, a derivada de
é dada pela regra da cadeia. A fórmula é
Explicando cada parte:
é a “função externa” e
é a “função interna”.
é a derivada de
em relação à sua variável (que eu chamei de
).
é a derivada de
em relação a
.
Para aplicar: derivamos a função externa como se sua variável fosse uma letra genérica , depois substituímos
e multiplicamos pelo derivado da função interna
.
Para aplicar: derivamos a função externa como se sua variável fosse uma letra genérica
Exemplo rápido para fixar (bem simples): seja
. Identificamos
e
. Então
e
. Pela regra da cadeia:
Isso mostra o passo a passo: derivar externo, avaliar no interno, multiplicar pela derivada do interno.
Passo 3
Agora aplicamos ao problema. Identificamos as duas funções:
Calculemos as derivadas separadamente:
Derivada da interna:
Derivada da interna:
Aqui usei que a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Derivada da externa em função de
:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Substituindo
e simplificando o produto:
Esta é a forma final simplificada da derivada. Observação: a derivada está definida para todo
, já que não há divisão nem raiz de índice par com argumento negativo.