Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas: a expressão explícita de
em termos de
. Observação importante que vem do enunciado:
(porque há divisão por
).
Passo 2
Escolha do método: aqui é muito mais simples primeiro reescrever a função como soma de potências de
(ou seja, dividir cada termo do numerador por
) e depois aplicar a regra da potência termo a termo. Por que não usei diretamente a regra do quociente? Porque a simplificação algébrica transforma tudo em potências negativas e aí a derivação fica direta usando a regra da potência, exige menos passos e menos chance de erro numa prova curta.
Passo 3
Simplificação algébrica: dividir cada termo do numerador por
:
Expliquei cada passo:
e
.
Passo 4
Regra que vamos usar (aulas rápida e prática): a regra da potência diz que, para qualquer número real
,
O que isso significa: se a função é uma potência de
, basta multiplicar pela potência e diminuir o expoente em
. Exemplos rápidos para fixar:
Note que a regra vale também para expoentes negativos, como temos aqui.
Passo 5
Aplicando a regra termo a termo em
:
Derivada do primeiro termo:
Derivada do segundo termo:
Somando os resultados:
Passo 6
Colocar a resposta em forma de fração única (opcional, mas costuma ficar mais limpa): escrever ambos os termos com denominação
:
Também lembrar a restrição de domínio: essa derivada vale para
.