Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\frac{-5+t^{2}}{t^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(t)=\frac{-5+t^{2}}{t^{3}}.
Informações dadas: a expressão explícita de f(t) em termos de t. Observação importante que vem do enunciado: t\neq 0 (porque há divisão por t^{3}).

Passo 2

Escolha do método: aqui é muito mais simples primeiro reescrever a função como soma de potências de t (ou seja, dividir cada termo do numerador por t^{3}) e depois aplicar a regra da potência termo a termo. Por que não usei diretamente a regra do quociente? Porque a simplificação algébrica transforma tudo em potências negativas e aí a derivação fica direta usando a regra da potência, exige menos passos e menos chance de erro numa prova curta.

Passo 3

Simplificação algébrica: dividir cada termo do numerador por t^{3}:
f(t)=\frac{-5}{t^{3}}+\frac{t^{2}}{t^{3}}=-5t^{-3}+t^{-1}.
Expliquei cada passo: \frac{-5}{t^{3}}=-5t^{-3} e \frac{t^{2}}{t^{3}}=t^{2-3}=t^{-1}.

Passo 4

Regra que vamos usar (aulas rápida e prática): a regra da potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
O que isso significa: se a função é uma potência de t, basta multiplicar pela potência e diminuir o expoente em 1. Exemplos rápidos para fixar:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}\bigr)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(t^{-2}\bigr)=-2t^{-3}.
Note que a regra vale também para expoentes negativos, como temos aqui.

Passo 5

Aplicando a regra termo a termo em -5t^{-3}+t^{-1}:
Derivada do primeiro termo:
\frac{d}{dt}\bigl(-5t^{-3}\bigr)=-5\cdot(-3)t^{-4}=15t^{-4}.
Derivada do segundo termo:
\frac{d}{dt}\bigl(t^{-1}\bigr)=-1\cdot t^{-2}=-t^{-2}.
Somando os resultados:
f'(t)=15t^{-4}-t^{-2}.

Passo 6

Colocar a resposta em forma de fração única (opcional, mas costuma ficar mais limpa): escrever ambos os termos com denominação t^{4}:
15t^{-4}-t^{-2}=\frac{15}{t^{4}}-\frac{1}{t^{2}}=\frac{15}{t^{4}}-\frac{t^{2}}{t^{4}}=\frac{15-t^{2}}{t^{4}}.
Também lembrar a restrição de domínio: essa derivada vale para t\neq 0.

Resposta

f'(t)=\frac{15-t^{2}}{t^{4}}

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