Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\frac{3 x^{2}-1}{2+x}}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a derivada da função” e fornece a função
f(x)=\sqrt{\frac{3 x^{2}-1}{2+x}}.
Informações dadas e restrições visíveis no enunciado:
  • A função é a raiz quadrada de uma fração com numerador 3x^{2}-1 e denominador 2+x.
  • O domínio da função exige que a expressão dentro da raiz seja não negativa, isto é,
\frac{3x^{2}-1}{2+x}\ge 0,
e que 2+x\neq 0 (ou seja, x\neq -2).
  • A derivada que vamos calcular deve ser válida apenas onde a função está definida e onde as operações que aparecerem na derivada fazem sentido (por exemplo, evitaremos divisão por zero).

Passo 2

Reescrevemos a função usando potência para facilitar a diferenciação:
f(x)=\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right)^{1/2}.
Explicação didática do que faremos: essa é uma composição de duas funções — a função externa é h(u)=u^{1/2} e a função interna é u(x)=\dfrac{3x^{2}-1}{2+x}. Para derivar uma composição usamos a regra da cadeia: se f(x)=h(u(x)) então
f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).
No nosso caso h'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}. Portanto
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right)^{-1/2}\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right).

Passo 3

Agora precisamos calcular a derivada da função interna u(x)=\dfrac{3x^{2}-1}{2+x}. Para derivar uma fração usamos a regra do quociente: se u(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
u'(x)=\frac{p'(x)\,q(x)-p(x)\,q'(x)}{[q(x)]^{2}}.
Aqui tomamos p(x)=3x^{2}-1 e q(x)=2+x. Calculamos as derivadas:
p'(x)=6x,\qquad q'(x)=1.
Substituindo na regra do quociente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right) =\frac{6x(2+x)-(3x^{2}-1)\cdot 1}{(2+x)^{2}}.

Passo 4

Fazendo a álgebra do numerador passo a passo:
6x(2+x)=12x+6x^{2},
então
12x+6x^{2}-(3x^{2}-1)=12x+6x^{2}-3x^{2}+1=3x^{2}+12x+1.
Logo a derivada da parte interna é
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right)=\frac{3x^{2}+12x+1}{(2+x)^{2}}.

Passo 5

Voltando à expressão pela regra da cadeia, substituímos a derivada interna:
f'(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right)^{-1/2}\cdot\frac{3x^{2}+12x+1}{(2+x)^{2}}.
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro usamos que
\left(\frac{3x^{2}-1}{2+x}\right)^{-1/2}=\sqrt{\frac{2+x}{3x^{2}-1}}.
Portanto
f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2+x}{3x^{2}-1}}\cdot\frac{3x^{2}+12x+1}{(2+x)^{2}}.
Agora combine os fatores envolvendo 2+x. Note que
\sqrt{\frac{2+x}{3x^{2}-1}}\cdot\frac{1}{(2+x)^{2}} =\frac{1}{(2+x)^{2}}\cdot\frac{\sqrt{2+x}}{\sqrt{3x^{2}-1}} =\frac{1}{(2+x)^{3/2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3x^{2}-1}}.
Assim obtemos a forma simplificada
f'(x)=\frac{3x^{2}+12x+1}{2(2+x)^{3/2}\sqrt{3x^{2}-1}}.
Observação sobre validade: essa forma final assume que os radicais fazem sentido (por exemplo, que 3x^{2}-1>0 e 2+x>0 quando usamos potências fracionárias na forma mostrada). Em termos práticos, a derivada fica bem definida somente nos pontos do domínio de f onde a expressão não produz divisões por zero (em particular, pontos onde \dfrac{3x^{2}-1}{2+x}=0 gerariam problema por causa do fator \left(\cdot\right)^{-1/2}).

Resposta

f'(x)=\frac{3x^{2}+12x+1}{2(2+x)^{3/2}\sqrt{3x^{2}-1}}

Exercícios relacionados