Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a derivada da função” e fornece a função
Informações dadas e restrições visíveis no enunciado:
- A função é a raiz quadrada de uma fração com numerador
e denominador . - O domínio da função exige que a expressão dentro da raiz seja não negativa, isto é,
e que
(ou seja,
).
- A derivada que vamos calcular deve ser válida apenas onde a função está definida e onde as operações que aparecerem na derivada fazem sentido (por exemplo, evitaremos divisão por zero).
Passo 2
Reescrevemos a função usando potência para facilitar a diferenciação:
Explicação didática do que faremos: essa é uma composição de duas funções — a função externa é
e a função interna é
. Para derivar uma composição usamos a regra da cadeia: se
então
No nosso caso
. Portanto
Passo 3
Agora precisamos calcular a derivada da função interna
. Para derivar uma fração usamos a regra do quociente: se
então
Aqui tomamos
e
. Calculamos as derivadas:
Substituindo na regra do quociente:
Passo 4
Fazendo a álgebra do numerador passo a passo:
então
Logo a derivada da parte interna é
Passo 5
Voltando à expressão pela regra da cadeia, substituímos a derivada interna:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro usamos que
Portanto
Agora combine os fatores envolvendo
. Note que
Assim obtemos a forma simplificada
Observação sobre validade: essa forma final assume que os radicais fazem sentido (por exemplo, que
e
quando usamos potências fracionárias na forma mostrada). Em termos práticos, a derivada fica bem definida somente nos pontos do domínio de
onde a expressão não produz divisões por zero (em particular, pontos onde
gerariam problema por causa do fator
).