Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas e observações importantes (apenas o que o enunciado fornece):
Domínio: a expressão está definida para todo
tal que
, ou seja
(apenas observação sobre onde a função não está definida).
Agora vamos para a resolução passo a passo.
Agora vamos para a resolução passo a passo.
Passo 2
Primeira simplificação útil: reescrever a função usando potência, que deixa a diferenciação mais direta. Transformamos a fração em potência negativa:
Explico por que isso ajuda: com essa forma podemos aplicar a ideia de “derivar uma potência” combinada com a derivada do que está dentro dos parênteses. Vou ensinar isso antes de aplicar.
Passo 3
Regra que vamos usar (explicada devagar): se tivermos uma função da forma
, onde
é uma função qualquer e
é um número real, a derivada é dada por:
O que isso diz em palavras: você traz o expoente para frente (multiplica), diminui o expoente em 1, e multiplica pelo derivado da parte “interna”
. Essa é a combinação da regra para potência com a regra que diz “derivar o que está dentro” (às vezes chamada de regra da cadeia). Vou aplicar isso com
e
.
Passo 4
Calcule o derivado da parte interna
. Isso é direto: a derivada de
é
e a derivada de constante é
. Então
Expliquei: para polinômios, diferenciar termo a termo; lembrar que a constante some.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da potência com
e
. Substituindo:
Aqui eu coloquei
e multipliquei pelo
. Não esqueça do
: é o “fator interno” que vem da regra da cadeia.
Passo 6
Simplificamos os fatores numéricos e a potência:
Expliquei: multiplicamos os coeficientes
e
para obter
, e mantemos
junto.
Passo 7
Por fim, é comum reescrever a potência negativa como uma fração com potência positiva no denominador. Assim:
Isso é equivalente e muitas vezes mais legível numa prova.