Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}-8\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}-8\right)^{3}}.
Informações dadas e observações importantes (apenas o que o enunciado fornece):
f(x)=\frac{1}{\left(x^{2}-8\right)^{3}}.
Domínio: a expressão está definida para todo x tal que \left(x^{2}-8\right)\neq 0, ou seja x\neq \pm\sqrt{8} (apenas observação sobre onde a função não está definida).
Agora vamos para a resolução passo a passo.

Passo 2

Primeira simplificação útil: reescrever a função usando potência, que deixa a diferenciação mais direta. Transformamos a fração em potência negativa:
f(x)=\left(x^{2}-8\right)^{-3}.
Explico por que isso ajuda: com essa forma podemos aplicar a ideia de “derivar uma potência” combinada com a derivada do que está dentro dos parênteses. Vou ensinar isso antes de aplicar.

Passo 3

Regra que vamos usar (explicada devagar): se tivermos uma função da forma \left(u(x)\right)^{n}, onde u(x) é uma função qualquer e n é um número real, a derivada é dada por:
\frac{d}{dx}\left[\left(u(x)\right)^{n}\right] = n\left(u(x)\right)^{n-1}\cdot u'(x).
O que isso diz em palavras: você traz o expoente para frente (multiplica), diminui o expoente em 1, e multiplica pelo derivado da parte “interna” u(x). Essa é a combinação da regra para potência com a regra que diz “derivar o que está dentro” (às vezes chamada de regra da cadeia). Vou aplicar isso com u(x)=x^{2}-8 e n=-3.

Passo 4

Calcule o derivado da parte interna u(x)=x^{2}-8. Isso é direto: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada de constante é 0. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}-8\right)=2x.
Expliquei: para polinômios, diferenciar termo a termo; lembrar que a constante some.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da potência com n=-3 e u(x)=x^{2}-8. Substituindo:
f'(x) = -3\left(x^{2}-8\right)^{-3-1}\cdot (2x).
Aqui eu coloquei n-1 = -3-1 = -4 e multipliquei pelo u'(x)=2x. Não esqueça do 2x: é o “fator interno” que vem da regra da cadeia.

Passo 6

Simplificamos os fatores numéricos e a potência:
f'(x) = -3\cdot 2x \left(x^{2}-8\right)^{-4} = -6x\left(x^{2}-8\right)^{-4}.
Expliquei: multiplicamos os coeficientes -3 e 2 para obter -6, e mantemos x junto.

Passo 7

Por fim, é comum reescrever a potência negativa como uma fração com potência positiva no denominador. Assim:
f'(x) = -6x\left(x^{2}-8\right)^{-4} = -\frac{6x}{\left(x^{2}-8\right)^{4}}.
Isso é equivalente e muitas vezes mais legível numa prova.

Resposta

-\dfrac{6x}{\left(x^{2}-8\right)^{4}}

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