Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
.
Informações dadas: a função é dada explicitamente por . Não há outros dados no enunciado.
Informações dadas: a função é dada explicitamente por
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a raiz como potência, porque isso facilita aplicar regras de derivação. A raiz quadrada de algo é a mesma coisa que elevar esse algo à potência
. Então escrevemos:
Explicando com calma: a expressão dentro do parêntese,
, chama-se a “função interna” e o expoente
define a função “externa” que age sobre essa interna.
Passo 3
Agora vamos lembrar duas coisas importantes (vou explicar cada uma):
- Regra da potência (para funções do tipo
,): a derivada é . Aqui é a função interna e é um número. Isso é uma consequência da regra da cadeia combinada com a derivada de potências. - Regra da cadeia (intuição): quando temos uma função composta
, a derivada é . Ou seja, derivamos a parte externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da interna.
Aplicando isso ao nosso caso:
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada passo a passo.
- Derivada da parte externa
em relação a :
Aqui expliquei: diminuí o expoente em 1 (de
para
) e multipliquei pelo expoente original
.
- Derivada da parte interna
em relação a :
Detalhe: usei a regra da potência básica para
(derivada é
) e a derivada de
é
.
- Multiplicando segundo a regra da cadeia:
Passo 5
Vamos simplificar a aparência da derivada para uma forma mais comum (com raiz no denominador). Lembre que
. Assim:
Isso é apenas uma reescrita algebraica mais prática para usar em exercícios ou na prova.
Passo 6
Comentários finais importantes para a prova (dicas e verificação):
- A fórmula acima vale sempre que a raiz original estiver bem definida e o denominador não for zero, ou seja, para
tais que . Se (pontos onde a expressão dentro da raiz é zero) o denominador zera e a derivada, na forma dada, não existe (é preciso analisar à parte se existe derivada lateral ou se a função é diferenciável ali). - Zeros de
ocorrem quando , ou seja ou . Nesses pontos deve-se ter cuidado.
Força aí — a conta é curta na prova: reescreve como potência, aplica cadeia, simplifica.