Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x}.
Informações dadas: a função é dada explicitamente por \displaystyle f(x)=\sqrt{x^{4}-3 x}. Não há outros dados no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a raiz como potência, porque isso facilita aplicar regras de derivação. A raiz quadrada de algo é a mesma coisa que elevar esse algo à potência \tfrac{1}{2}. Então escrevemos:
f(x)=\bigl(x^{4}-3x\bigr)^{\tfrac{1}{2}}.
Explicando com calma: a expressão dentro do parêntese, \bigl(x^{4}-3x\bigr), chama-se a “função interna” e o expoente \tfrac{1}{2} define a função “externa” que age sobre essa interna.

Passo 3

Agora vamos lembrar duas coisas importantes (vou explicar cada uma):
  • Regra da potência (para funções do tipo \,u(x)^n,): a derivada é n\cdot u(x)^{n-1}\cdot u'(x). Aqui u(x) é a função interna e n é um número. Isso é uma consequência da regra da cadeia combinada com a derivada de potências.
  • Regra da cadeia (intuição): quando temos uma função composta F(x)=g(u(x)), a derivada é F'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). Ou seja, derivamos a parte externa mantendo a interna, e multiplicamos pela derivada da interna.
Aplicando isso ao nosso caso: g(u)=u^{\tfrac{1}{2}} e u(x)=x^{4}-3x.

Passo 4

Calculamos a derivada passo a passo.
  1. Derivada da parte externa g(u)=u^{\tfrac{1}{2}} em relação a u:
g'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}}.
Aqui expliquei: diminuí o expoente em 1 (de \tfrac{1}{2} para -\tfrac{1}{2}) e multipliquei pelo expoente original \tfrac{1}{2}.
  1. Derivada da parte interna u(x)=x^{4}-3x em relação a x:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}(3x)=4x^{3}-3.
Detalhe: usei a regra da potência básica para x^4 (derivada é 4x^3) e a derivada de 3x é 3.
  1. Multiplicando segundo a regra da cadeia:
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{4}-3x\bigr)^{-\tfrac{1}{2}}\cdot\bigl(4x^{3}-3\bigr).

Passo 5

Vamos simplificar a aparência da derivada para uma forma mais comum (com raiz no denominador). Lembre que \bigl(x^{4}-3x\bigr)^{-\tfrac{1}{2}}=1/\sqrt{x^{4}-3x}. Assim:
f'(x)=\frac{4x^{3}-3}{2\sqrt{x^{4}-3x}}.
Isso é apenas uma reescrita algebraica mais prática para usar em exercícios ou na prova.

Passo 6

Comentários finais importantes para a prova (dicas e verificação):
  • A fórmula acima vale sempre que a raiz original estiver bem definida e o denominador não for zero, ou seja, para x tais que x^{4}-3x>0. Se x^{4}-3x=0 (pontos onde a expressão dentro da raiz é zero) o denominador zera e a derivada, na forma dada, não existe (é preciso analisar à parte se existe derivada lateral ou se a função é diferenciável ali).
  • Zeros de x^{4}-3x ocorrem quando x(x^{3}-3)=0, ou seja x=0 ou x=\sqrt[3]{3}. Nesses pontos deve-se ter cuidado.
Força aí — a conta é curta na prova: reescreve como potência, aplica cadeia, simplifica.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{4x^{3}-3}{2\sqrt{x^{4}-3x}}

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