Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=-2 \sqrt{3-x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função \,f(x)=-2\sqrt{3-x^{2}}\,.
Informações dadas: a expressão explícita de f. Observação importante (vinda do próprio enunciado): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo, então \,3-x^{2}\ge 0, ou seja \,-\sqrt{3}\le x\le\sqrt{3}. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e anotei o domínio natural da expressão.

Passo 2

Reescrevendo a função de modo mais conveniente para derivar: usei a equivalência entre raiz quadrada e potência fracionária,
f(x) = -2(3-x^{2})^{1/2}.
Agora vou usar duas regras básicas de diferenciação que preciso recordar e aplicar: (1) regra do fator constante: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x); (2) regra da cadeia: se temos uma função composta h(x)=H(G(x)), então h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x). Vou explicar cada uma antes de aplicar.

Passo 3

Aula rápida sobre as regras que vou usar:
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(x) é diferenciável, então (c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x). Aqui c=-2.
  • Regra da potência (caso de potência fracionária): para H(u)=u^{n} com n qualquer real, H'(u)=n u^{n-1}. Aplicando a H(u)=u^{1/2} temos H'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-1/2}.
  • Regra da cadeia (detalhando): para h(x)=H(G(x)), primeiro derivamos H em relação a u e depois multiplicamos pela derivada de G(x). Em símbolos, h'(x)=H'(G(x))\cdot G'(x). Um exemplo simples: se h(x)=\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}, então h'(x)=\tfrac{1}{2}(2x+1)^{-1/2}\cdot 2 = \dfrac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}.

Passo 4

Aplicando as regras à nossa função. Identifico a composição:
  • função externa H(u)=u^{1/2},
  • função interna G(x)=3-x^{2},
    e o fator constante -2.
Primeiro calcule H'(u): como visto,
H'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}.
Depois calcule G'(x): derivando 3-x^{2} em relação a x,
G'(x) = \frac{d}{dx}(3-x^{2}) = 0 - 2x = -2x.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia e a regra do fator constante. Começo por derivar (3-x^{2})^{1/2} usando cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl((3-x^{2})^{1/2}\bigr) = \frac{1}{2}(3-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x).
Multiplicando pelo fator constante -2 que estava na frente de tudo,
f'(x) = -2 \cdot \left[\frac{1}{2}(3-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)\right].

Passo 6

Agora simplifico a expressão passo a passo. Dentro do colchete temos \tfrac{1}{2}\cdot(-2x) = -x. Então
f'(x) = -2\cdot\bigl(-x(3-x^{2})^{-1/2}\bigr).
O produto -2\cdot(-x) é 2x. Portanto
f'(x) = 2x(3-x^{2})^{-1/2}.
Reescrevendo com raiz no denominador, fica mais habitual:
f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{3-x^{2}}}.

Passo 7

Comentários finais sobre domínio de derivabilidade: a expressão obtida para f'(x) só faz sentido quando o denominador \sqrt{3-x^{2}} é positivo, ou seja para x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3}). Nos extremos x=\pm\sqrt{3} o radicando zera e a derivada tende a infinito (a função não é diferenciável nesses pontos). Então a fórmula dada vale para x\in(-\sqrt{3},\sqrt{3}).

Resposta

\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{3-x^{2}}}

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