Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a expressão explícita de . Observação importante (vinda do próprio enunciado): a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo, então
, ou seja
. Neste passo apenas identifiquei o que é pedido e anotei o domínio natural da expressão.
Informações dadas: a expressão explícita de
Passo 2
Reescrevendo a função de modo mais conveniente para derivar: usei a equivalência entre raiz quadrada e potência fracionária,
Agora vou usar duas regras básicas de diferenciação que preciso recordar e aplicar: (1) regra do fator constante: a derivada de
é
; (2) regra da cadeia: se temos uma função composta
, então
. Vou explicar cada uma antes de aplicar.
Passo 3
Aula rápida sobre as regras que vou usar:
- Regra do fator constante: se
é constante e é diferenciável, então . Aqui . - Regra da potência (caso de potência fracionária): para
com qualquer real, . Aplicando a temos . - Regra da cadeia (detalhando): para
, primeiro derivamos em relação a e depois multiplicamos pela derivada de . Em símbolos, . Um exemplo simples: se , então .
Passo 4
Aplicando as regras à nossa função. Identifico a composição:
- função externa
, - função interna
,
e o fator constante.
Primeiro calcule
: como visto,
Depois calcule
: derivando
em relação a
,
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia e a regra do fator constante. Começo por derivar
usando cadeia:
Multiplicando pelo fator constante
que estava na frente de tudo,
Passo 6
Agora simplifico a expressão passo a passo. Dentro do colchete temos
. Então
O produto
é
. Portanto
Reescrevendo com raiz no denominador, fica mais habitual:
Passo 7
Comentários finais sobre domínio de derivabilidade: a expressão obtida para
só faz sentido quando o denominador
é positivo, ou seja para
. Nos extremos
o radicando zera e a derivada tende a infinito (a função não é diferenciável nesses pontos). Então a fórmula dada vale para
.